Функције – домен функције 1

Функција. Домен функције. Одређивање домена код полиномне, рационалне, корене и логаритамске функције. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити област дефинисаности функција

пр.1) $y = - 3{x^4} + 2{x^3} - 7{x^2} + 5x - 5$

пр.2) $y = \frac{{ - 2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}$

пр.3) $y = \sqrt {{x^2} - 7x + 10}$

пр.4) $y = \sqrt[3]{{ - 5{x^5}+2{x^3}+1}}$

пр.5) $y = log(2{x^2}-x-10)$

пр.1) $y = - 3{x^4} + 2{x^3} - 7{x^2} + 5x - 5$

$Df:\mathbb{R}$

пр.2) $y = \frac{{ - 2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}$

$\begin{aligned}&Df:{x^2} - 1 \ne 0 \\ &{x^2} \ne 1 \\ &x \ne \pm 1 \\ &Df:\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1,1} \right\}\end{aligned}$

пр.3) $y = \sqrt {{x^2} - 7x + 10}$

$\begin{aligned}&Df:{x^2} - 7x + 10 \geqslant 0 \\ &{x^2} - 7x + 10 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{7 \pm \sqrt {49 - 40} }}{2} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{7 \pm 3}}{2} \\ &{x_1} = 2,{x_2} = 5\end{aligned}$

419 png

$Df:x \in \left( { - \infty ,2} \right] \cup \left[ {5, + \infty } \right)$

пр.4) $y = \sqrt[3]{{ - 5{x^5}+2{x^3}+1}}$

$Df:\mathbb{R}$

пр.5) $y = log(2{x^2}-x-10)$

$\begin{aligned}&Df:2{x^2} - x - 10 > 0 \\ &2{x^2} - x - 10 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 80} }}{4} = \frac{{1 \pm 9}}{4} \\ &{x_1} = - 2,{x_1} = \frac{5}{2}\end{aligned}$

420 png

$Df:x \in \left( { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {\frac{5}{2}, + \infty } \right)$

Домен, или област дефинисаности, функције је скуп свих $x$ за које израз има смисла. Полиноми и непарни корени, као $\sqrt[3]{x}$ , дефинисани су за свако $x$ , па је $D_f = \mathbb{R}$ . Код разломка именилац мора бити различит од нуле: за $\frac{1}{x^2 - 1}$ је $x \ne \pm 1$ . Израз под парним кореном мора бити ненегативан, а аргумент логаритма строго позитиван.

Ако је под кореном или у логаритму квадратни трином, нађите његове нуле и одредите знак: за $a > 0$ трином је позитиван лево од мање и десно од веће нуле. Пазите на крајеве интервала: код корена нуле тринома припадају домену (угласте заграде), а код логаритма не припадају (обле заграде).

Мања нула x₁2

Већа нула x₂5

Тачка x₀6,5

g(x₀): 6,75
√g(x₀): 2,6

Испрекидана парабола је трином

g(x) = (x - x_1)(x - x_2)

, а плави график

\sqrt{g(x)}

постоји само где је парабола изнад осе

x

или на њој. Укључите логаритам: његов график постоји само где је

g(x) > 0

, па

x_1

и

x_2

више нису у домену. Почетни положај је пример 3 са странице,

x^2 - 7x + 10

.

Свака формула у пракси има домен: калкулатор и Excel јављају грешку кад тражите корен негативног броја, а инжењер мора да зна за које вредности формула за дужину, брзину или напон уопште важи.

Мердевине уз зид

Мердевине дужине 5 m наслоњене су на зид. Ако је подножје удаљено $x$ метара од зида, врх је на висини $h(x) = \sqrt{25 - x^2}$ метара. Одредите домен функције $h$ и за које $x$ формула има смисла у стварности. Колико је висок врх кад је подножје 3 m од зида?

Решење

Израз под кореном мора бити ненегативан: $25 - x^2 \geqslant 0$ .
Нуле тринома $25 - x^2$ су $x = -5$ и $x = 5$ . Коефицијент уз $x^2$ је негативан, па је трином ненегативан између нула: $D_h = [-5, 5]$ .
Удаљеност не може бити негативна, па у стварности формула важи за $0 \leqslant x \leqslant 5$ : за $x = 0$ мердевине стоје усправно уз зид, а за $x = 5$ леже на поду.
За $x = 3$ : $h(3) = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ m.

Одговор: Домен је $[-5, 5]$ , у стварности $0 \leqslant x \leqslant 5$ , а кад је подножје 3 m од зида, врх је на висини од 4 m.

Задатак за вежбу

Одредите домен функција $y = \frac{x + 1}{x^2 - 9}$ и $y = \log(x^2 - 4x - 5)$ .

Прикажи решење

Прва: $x^2 - 9 \ne 0$ , па је $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$ . Друга: $x^2 - 4x - 5 > 0$ ; нуле су $-1$ и $5$ , па је $D = (-\infty, -1) \cup (5, +\infty)$ .