Неодређени интеграли – метода смене 4

Интеграли. Особине интеграла. Метода смене. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Решити

Пр.13) $\int {tgxdx }$

Пр.14) $\int {{{\cos }^5}x} {\sin ^3}xdx$

Пр.15) $\int {\frac{{{{\cos }^5}x}}{{\sqrt {\sin x} }}} dx$

Пр.16) $\int {{{\sin }^5}\left( {\sin x} \right)} \cos xdx$

Пр.13) $\int {tgxdx = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} } dx =$

Смена: $\cos x = t|'$

$- \sin x = dt$

$\sin x = - dt$

$= \int {\frac{{ - dt}}{t}} = - \int {\frac{{dt}}{t}} = - \ln \left| t \right| + C = - \ln \left| {\cos x} \right| + C$

Пр.14) $\int {{{\cos }^5}x} {\sin ^3}xdx = \int {{{\cos }^5}x} {\sin ^2}x\sin xdx = \int {{{\cos }^5}x} \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx =$

Смена: $\cos x = t|'$

$- \sin x = dt$

$\sin x = - dt$

$= \int {{t^5}} \left( {1 - {t^2}} \right)\left( { - dt} \right) = - \int {\left( {{t^5} - {t^7}} \right)} dt = - \left( {\int {{t^5}} dt - \int {{t^7}} dt} \right) =$

$= - \left( {\frac{{{t^6}}}{6} - \frac{{{t^8}}}{8}} \right) + C = \frac{{{{\cos }^6}x}}{6} - \frac{{{{\cos }^8}x}}{8} + C$

Пр.15) $\int {\frac{{{{\cos }^5}x}}{{\sqrt {\sin x} }}} dx = \int {\frac{{{{\cos }^4}x\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }}} dx = \int {\frac{{{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2}\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }}} dx =$

$= \int {\frac{{{{\left( {1 - si{n^2}x} \right)}^2}\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }}} dx =$

Смена: $\sin x = t$

$\cos x = dt$

$= \int {\frac{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}}{{\sqrt t }}} dt = \int {\frac{{1 - 2{t^2} + {t^4}}}{{\sqrt t }}} dt = \int {\frac{1}{{\sqrt t }}} dt - \int {\frac{{2{t^2}}}{{\sqrt t }}} dt + \int {\frac{{{t^4}}}{{\sqrt t }}} dt =$

$= \int {{t^{ - \frac{1}{2}}}} dt - 2\int {{t^{\frac{3}{2}}}dt} + \int {{t^{\frac{7}{2}}}} dt = \frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} - 2 = 2\sqrt t - 2\frac{{{t^{\frac{5}{2}}}}}{{\frac{5}{2}}} + \frac{{{t^{\frac{9}{2}}}}}{{\frac{9}{2}}} + C =$

$= 2\sqrt t - 2 \cdot \frac{2}{5}{\sqrt t ^5} + \frac{2}{9}{\sqrt t ^9} + C = 2\sqrt {\sin x} - 2 \cdot \frac{2}{5}{\sqrt {\sin x} ^5} + \frac{2}{9}{\sqrt {\sin x} ^9} + C$

Пр.16) $\int {{{\sin }^5}\left( {\sin x} \right)} \cos xdx=$

Смена: $\sin x = t$

$\cos x = dt$

$= \int {{{\sin }^5}t} dt = \int {sint{{\sin }^4}t} dt = \int {sint{{\left( {{{\sin }^2}t} \right)}^2}} dt = \int {sint\left( {1 - {{\cos }^2}t} \right)} dt =$

Смена: $\cos t = s$

$- \sin tdt = ds$

$\sin tdt = - ds$

$= {\int {\left( {1 - {s^2}} \right)} ^2}ds = \int {\left( {1 - 2{s^2} + {s^4}} \right)} ds = \int {ds - 2\int {{s^2}} } ds + \int {{s^4}} ds =$

$= s - 2\frac{{{s^3}}}{3} + \frac{{{s^5}}}{5} + C = \cos t - 2\frac{{{{\cos }^3}t}}{3} + \frac{{{{\cos }^5}t}}{5} + C =$

$= \cos \left( {\sin x} \right) - 2\frac{{{{\cos }^3}\left( {\sin x} \right)}}{3} + \frac{{{{\cos }^5}\left( {\sin x} \right)}}{5} + C$

Кад је у $\int \sin^m x\cos^n x\,dx$ један од изложилаца непаран, од тог степена издвојите један чинилац за $dt$ , а остатак, паран степен, изразите преко друге функције помоћу $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Ако је непаран степен синуса, смена је $t = \cos x$ и $dt = -\sin x\,dx$ ; ако је непаран степен косинуса, смена је $t = \sin x$ и $dt = \cos x\,dx$ . Тако $\int \sin^3 x\cos^2 x\,dx$ постаје $-\int (1 - t^2)t^2\,dt$ . Исти поступак важи и кад је непаран степен у имениоцу, као у $\int \frac{dx}{\cos x}$ . Понекад су потребне две смене једна за другом.

Ако су оба изложиоца парна, овај трик не помаже: тада се користе формуле двоструког угла. Најчешћа грешка је изгубљен минус.

Географска ширина φ45°

На карти: 8,81 cm
На глобусу: 7,85 cm
Растезање 1/cos φ: 1,41

Плава крива је растојање на Меркаторовој карти,

y = 5\ln\frac{1 + \sin\varphi}{1 - \sin\varphi}

, а испрекидана права лук на глобусу,

10\varphi

са

\varphi

у радијанима. Ка половима карта све више растеже: на ширини

\varphi

размера је

\frac{1}{\cos\varphi}

пута већа него на екватору.

Картографи овом сменом изводе Меркаторову пројекцију, на којој курс брода под сталним углом према северу изгледа као права линија; зато је користе поморске карте и многе карте на интернету.

Меркаторова карта

На Меркаторовој карти паралела географске ширине $\varphi$ нацртана је на растојању $y(\varphi)$ од екватора, при чему је $y'(\varphi) = \frac{R}{\cos\varphi}$ и $y(0) = 0$ , а $R$ је полупречник глобуса у размери карте. Колико је на карти са $R = 10$ cm од екватора удаљена паралела $45^\circ$ , која пролази између Београда и Новог Сада?

Решење

$y = R\int \frac{d\varphi}{\cos\varphi} = R\int \frac{\cos\varphi\,d\varphi}{\cos^2\varphi} = R\int \frac{\cos\varphi\,d\varphi}{1 - \sin^2\varphi}$ : један косинус смо издвојили за $dt$ , а паран степен изразили преко синуса.
Смена $t = \sin\varphi$ , $dt = \cos\varphi\,d\varphi$ : $y = R\int \frac{dt}{1 - t^2} = \frac{R}{2}\ln\left|\frac{1 + t}{1 - t}\right| + C$ .
Враћамо смену: $y = \frac{R}{2}\ln\frac{1 + \sin\varphi}{1 - \sin\varphi} + C$ , а из $y(0) = 0$ следи $C = 0$ .
За $R = 10$ cm и $\varphi = 45^\circ$ : $\frac{1 + \frac{\sqrt 2}{2}}{1 - \frac{\sqrt 2}{2}} = 3 + 2\sqrt 2$ , па је $y = 5\ln(3 + 2\sqrt 2) \approx 8{,}81$ cm.
На глобусу истог полупречника лук од екватора до те паралеле је $10 \cdot \frac{\pi}{4} \approx 7{,}85$ cm: карта северније крајеве растеже.

Одговор: Паралела $45^\circ$ је на карти 8,81 cm од екватора, скоро 1 cm даље него на глобусу.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \sin^3 x\,dx$ .

Прикажи решење

$\int \sin^2 x\sin x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx$ ; смена $t = \cos x$ , $dt = -\sin x\,dx$ : $-\int (1 - t^2)\,dt = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ .