Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Примена одређеног интеграла 5

Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање површине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.5)   Израчунати површину између кривих x2+y2=9{x^2} + {y^2} = 9 и x2−8y=0{x^2} - 8y = 0.

(x−a)2+(y−b)2=r2{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {r^2}

C(a,b)C\left( {a,b} \right)

x2+y2=9{x^2} + {y^2} = 9

C(0;0)C\left( {0;0} \right)

y2=9−x2{y^2} = 9 - {x^2}

y=9−x2y = \sqrt {9 - {x^2}}

482 png

x2=8{x^2} = 8

y=18x2y = \frac{1}{8}{x^2}

483 png

{x2+y2=9x2=8y{y1=−9;y2=1‾x1=22;x2=−22\left\{ \begin{aligned}&{x^2} + {y^2} = 9 \\ &{x^2} = 8y\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&{y_1} = - 9;\underline {{y_2} = 1} \\ &{x_1} = 2\sqrt 2 ;{x_2} = - 2\sqrt 2\end{aligned} \right.

y1=−9x12=8⋅(−9)x1=−72y2=1x22=8x1=22;x2=−22;\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{y_1} = - 9 \\ &x_1^2 = 8 \cdot \left( { - 9} \right) \\ &{x_1} = - 72\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{y_2} = 1 \\ &x_2^2 = 8 \\ &{x_1} = 2\sqrt 2 ;{x_2} = - 2\sqrt 2 ;\end{aligned} \end{array}

A(22;1),B(−22;1)A\left( {2\sqrt 2 ;1} \right),B\left( { - 2\sqrt 2 ;1} \right)

484 png

P=2P1=2(∫0229−x2dx−∫02218x2dx)=P = 2{P_1} = 2\left( {\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\sqrt {9 - {x^2}} dx} - \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\frac{1}{8}{x^2}dx} } \right) =

∫9−x2dx⏟I=\underbrace {\int {\sqrt {9 - {x^2}} dx} }_I =

u=9−x2∣′du=(9−x2)′dxdu=((9−x2)12)′dxdu=12(9−x2)−12(9−x2)′dxdu=129−x2(−2x)dxdu=−x9−x2dxdv=dxv=x\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\left. {u = \sqrt {9 - {x^2}} } \right|^\prime } \\ &du = {\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right)^\prime }dx \\ &du = {\left( {{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^\prime }dx \\ &du = \frac{1}{2}{\left( {9 - {x^2}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}{\left( {9 - {x^2}} \right)^\prime }dx \\ &du = \frac{1}{{2\sqrt {9 - {x^2}} }}\left( { - 2x} \right)dx \\ &du = \frac{{ - x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}dx\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = dx \\ &v = x\end{aligned} \end{array}

=x9−x2−∫x−xdx9−x2== x\sqrt {9 - {x^2}} - \int {x\frac{{ - xdx}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}} =

=x9−x2−∫9−x2−99−x2dx== x\sqrt {9 - {x^2}} - \int {\frac{{9 - {x^2} - 9}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}} dx =

=x9−x2−(∫9−x229−x2dx−∫99−x2dx)== x\sqrt {9 - {x^2}} - \left( {\int {\frac{{{{\sqrt {9 - {x^2}} }^2}}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}} dx - \int {\frac{9}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}} dx} \right) =

=x9−x2−∫9−x2dx+9∫dx9−x2== x\sqrt {9 - {x^2}} - \int {\sqrt {9 - {x^2}} } dx + 9\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}} =

=x9−x2−∫9−x2dx+9∫dx31−(x3)2= x\sqrt {9 - {x^2}} - \int {\sqrt {9 - {x^2}} } dx + 9\int {\frac{{dx}}{{3\sqrt {1 - {{\left( {\frac{x}{3}} \right)}^2}} }}}

x3=t∣′\frac{x}{3} = t|'

13dx=dt\frac{1}{3}dx = dt

dx=3dtdx = 3dt

=x9−x2−∫9−x2dx+9∫3dt31−t2== x\sqrt {9 - {x^2}} - \int {\sqrt {9 - {x^2}} } dx + 9\int {\frac{{3dt}}{{3\sqrt {1 - {t^2}} }}} =

=x9−x2−∫9−x2dx⏟I+9arcsin⁡x3= x\sqrt {9 - {x^2}} - \underbrace {\int {\sqrt {9 - {x^2}} } dx}_I + 9\arcsin \frac{x}{3}

2I=x9−x2+9arcsin⁡x32I = x\sqrt {9 - {x^2}} + 9\arcsin \frac{x}{3}

I=x9−x22+92arcsin⁡x3I = \frac{{x\sqrt {9 - {x^2}} }}{2} + \frac{9}{2}\arcsin \frac{x}{3}

P=2P1=2(∫0229−x2dx−∫02218x2dx)=P = 2{P_1} = 2\left( {\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\sqrt {9 - {x^2}} dx} - \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\frac{1}{8}{x^2}dx} } \right) =

=2((x9−x22+92arcsin⁡x3)∣022−18⋅x33∣022)== 2\left( {\left. {\left( {\frac{{x\sqrt {9 - {x^2}} }}{2} + \frac{9}{2}\arcsin \frac{x}{3}} \right)} \right|_0^{2\sqrt 2 } - \left. {\frac{1}{8} \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{2\sqrt 2 }} \right) =

=2(229−(22)22+92arcsin⁡223−0−92arcsin⁡0−(18⋅(22)33−0))== 2\left( {\frac{{2\sqrt 2 \sqrt {9 - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} }}{2} + \frac{9}{2}\arcsin \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - 0 - \frac{9}{2}\arcsin 0 - \left( {\frac{1}{8} \cdot \frac{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^3}}}{3} - 0} \right)} \right) =

=2(2+92arcsin⁡223−8⋅2224)=2(23+92arcsin⁡223)== 2\left( {\sqrt 2 + \frac{9}{2}\arcsin \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{{8 \cdot 2\sqrt 2 }}{{24}}} \right) = 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3} + \frac{9}{2}\arcsin \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =

=223+9arcsin⁡223= \frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 9\arcsin \frac{{2\sqrt 2 }}{3}

Да бисте нашли површину између кружнице и параболе, прво решите систем њихових једначина. Из параболе изразите x2x^2 и уврстите у једначину кружнице: добија се квадратна једначина по yy, а решење које даје негативно x2x^2 одбаците. Обе криве су симетричне у односу на осу yy, па је P=2∫0x1(r2−x2−g(x))dxP = 2\int_0^{x_1}\left(\sqrt{r^2 - x^2} - g(x)\right)dx, где је gg парабола, а x1x_1 позитивна апсциса пресека. За горњи лук кружнице потребан је интеграл ∫r2−x2 dx=x2r2−x2+r22arcsin⁡xr+C\int \sqrt{r^2 - x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{r^2 - x^2} + \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} + C, који се добија парцијалном интеграцијом.

Пазите да арксинус рачунате у радијанима и да не заборавите фактор 2 због симетрије.

−20−101020−20−1010200x (m)y (m)стаза
30
Пресек x₁
17,32 m
Површина изнад стазе
476,6 m²
Стаза је парабола y=x2ky = \frac{x^2}{k}. Зелена површина је 2∫0x1(400−x2−x2k)dx2\int_0^{x_1}\left(\sqrt{400 - x^2} - \frac{x^2}{k}\right)dx; за k=30k = 30 пресек је у x1=103≈17,32x_1 = 10\sqrt 3 \approx 17{,}32 m, а површина 476,6 m², као у примеру.

Урбанисти и пејзажни архитекти овако рачунају површине тргова и паркова чије ивице чине кружни лукови и закривљене стазе, да би знали колико плоча или травњака треба.

Кружни трг и стаза

Кружни трг полупречника 20 m пресеца стаза у облику параболе y=x230y = \frac{x^2}{30}, а координатни почетак је у центру трга. Део трга изнад стазе треба поплочати. Колика је његова површина?

Решење

  1. Пресек: из x2=30yx^2 = 30y и x2+y2=400x^2 + y^2 = 400 добијамо y2+30y−400=0y^2 + 30y - 400 = 0, па је y=10y = 10, а x=±103x = \pm 10\sqrt 3. Решење y=−40y = -40 отпада, јер је y=x230≥0y = \frac{x^2}{30} \ge 0.
  2. Изнад стазе је лук кружнице y=400−x2y = \sqrt{400 - x^2}, па је због симетрије P=2∫0103(400−x2−x230)dxP = 2\int_0^{10\sqrt 3}\left(\sqrt{400 - x^2} - \frac{x^2}{30}\right)dx.
  3. По обрасцу за a=20a = 20: ∫0103400−x2 dx=1032⋅10+200arcsin⁡32=503+200π3\int_0^{10\sqrt 3}\sqrt{400 - x^2}\,dx = \frac{10\sqrt 3}{2} \cdot 10 + 200\arcsin\frac{\sqrt 3}{2} = 50\sqrt 3 + \frac{200\pi}{3}.
  4. ∫0103x230 dx=x390∣0103=3000390=10033\int_0^{10\sqrt 3}\frac{x^2}{30}\,dx = \frac{x^3}{90}\Big|_0^{10\sqrt 3} = \frac{3000\sqrt 3}{90} = \frac{100\sqrt 3}{3}.
  5. P=2(503+200π3−10033)=10033+400π3≈476,6P = 2\left(50\sqrt 3 + \frac{200\pi}{3} - \frac{100\sqrt 3}{3}\right) = \frac{100\sqrt 3}{3} + \frac{400\pi}{3} \approx 476{,}6 m².

Одговор: Део трга изнад стазе има површину око 476,6 m².

Задатак за вежбу

Израчунајте површину дела круга x2+y2≤8x^2 + y^2 \le 8 који је изнад параболе y=x22y = \frac{x^2}{2}.

Прикажи решење

Пресеци: y2+2y−8=0y^2 + 2y - 8 = 0, y=2y = 2, x=±2x = \pm 2. P=2(∫028−x2 dx−∫02x22 dx)=2(2+π−43)=2π+43≈7,62P = 2\left(\int_0^2\sqrt{8 - x^2}\,dx - \int_0^2\frac{x^2}{2}\,dx\right) = 2\left(2 + \pi - \frac{4}{3}\right) = 2\pi + \frac{4}{3} \approx 7{,}62.