Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – граничне вредности функција 4

Гранична вредност функције. Неодређеност бесконачно минус бесконачно, сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Одредити граничне вредности:

пр.12)   lim⁡x→∞(x−x2−8x)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x - \sqrt {{x^2} - 8x} )

пр.13)   lim⁡x→∞(x2−4x+5−x2+4x+5)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \sqrt {{x^2} + 4x + 5} )

пр.12)   

lim⁡x→∞(x−x2−8x)=lim⁡x→∞(x−x2−8x)⋅x+x2−8xx+x2−8x==lim⁡x→∞(x−x2−8x)(x+x2−8x)x+x2−8x=lim⁡x→∞x2−(x2−8x)2x+x2−8x==lim⁡x→∞x2−x2+8xx+x2−8x=lim⁡x→∞8xx+x2−8x⋅xx==lim⁡x→∞81+1−8xx2=81+1=4\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x - \sqrt {{x^2} - 8x} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x - \sqrt {{x^2} - 8x} ) \cdot \frac{{x + \sqrt {{x^2} - 8x} }}{{x + \sqrt {{x^2} - 8x} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 8x} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 8x} } \right)}}{{x + \sqrt {{x^2} - 8x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} - {{\left( {\sqrt {{x^2} - 8x} } \right)}^2}}}{{x + \sqrt {{x^2} - 8x} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} - {x^2} + 8x}}{{x + \sqrt {{x^2} - 8x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{8x}}{{x + \sqrt {{x^2} - 8x} }} \cdot \frac{x}{x} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{8}{{1 + \sqrt {1 - \frac{{8x}}{{{x^2}}}} }} = \frac{8}{{1 + \sqrt 1 }} = 4\end{aligned}

пр.13)  

lim⁡x→∞(x2−4x+5−x2+4x+5)==lim⁡x→∞(x2−4x+5−x2+4x+5)⋅x2−4x+5+x2+4x+5x2−4x+5+x2+4x+5==lim⁡x→∞x2−4x+5−(x2+4x+5)x2−4x+5+x2+4x+5=lim⁡x→∞x2−4x+5−x2−4x−5x2−4x+5+x2+4x+5==lim⁡x→∞−8xx2−4x+5+x2+4x+5⋅xx=lim⁡x→∞−8xxx2−4x+5x2+x2+4x+5x2==lim⁡x→∞−81−4x+5x2+1+4x+5x2=−82=−4\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \sqrt {{x^2} + 4x + 5} ) = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \sqrt {{x^2} + 4x + 5} ) \cdot \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} - 4x + 5 - \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} - 4x + 5 - {x^2} - 4x - 5}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 8x}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} }} \cdot \frac{x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - \frac{{8x}}{x}}}{{\sqrt {\frac{{{x^2} - 4x + 5}}{{{x^2}}}} + \sqrt {\frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2}}}} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 8}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4\end{aligned}

Неодређеност ∞−∞\infty - \infty јавља се код разлике у којој оба члана неограничено расту, као x−x2−8xx - \sqrt{x^2 - 8x}. Решава се множењем и дељењем коњугованим изразом, по формули (A−B)(A+B)=A2−B2(A - B)(A + B) = A^2 - B^2: корен нестаје, а разлика прелази у разломак.

Тако је x−x2−8x=x2−(x2−8x)x+x2−8x=8xx+x2−8xx - \sqrt{x^2 - 8x} = \frac{x^2 - (x^2 - 8x)}{x + \sqrt{x^2 - 8x}} = \frac{8x}{x + \sqrt{x^2 - 8x}}. Сада имате ∞∞\frac{\infty}{\infty}, па делите са xx и добијате 81+1=4\frac{8}{1 + 1} = 4. Исто се ради са разликом два корена, као x2−4x+5−x2+4x+5\sqrt{x^2 - 4x + 5} - \sqrt{x^2 + 4x + 5}: множите збиром тих корена, па у бројиоцу остаје разлика поткорених израза, у којој се квадрати пониште. Честа грешка је закључак ∞−∞=0\infty - \infty = 0: резултат може бити било који број, па и бесконачан.

50100150200250300350510152025x (m)r (m)r(x)P
20 m
80 m
Разлика r(x)
10,56 m
Гранична вредност c/2
10 m
График показује r(x)=x+c−x2+cxr(x) = x + c - \sqrt{x^2 + cx}. Оба члана расту без граница, а њихова разлика се смирује и тежи ка c2\frac{c}{2}, испрекиданој правој. За c=20c = 20 то је 10 m из примера.

Исти трик користе програмери у нумеричким прорачунима: разлику два скоро једнака корена рачунар тачније израчуна у облику разломка, без губитка значајних цифара.

Квадратна парцела исте површине

Приликом комасације власник мења правоугаону парцелу са страницама xx m и x+20x + 20 m за квадратну парцелу исте површине. Страница квадрата је x(x+20)=x2+20x\sqrt{x(x + 20)} = \sqrt{x^2 + 20x}, па је дужа страница правоугаоника дужа од ње за r(x)=x+20−x2+20xr(x) = x + 20 - \sqrt{x^2 + 20x} метара. Израчунајте r(80)r(80) и lim⁡x→∞r(x)\lim_{x \to \infty} r(x).

Решење

  1. За x=80x = 80: r(80)=100−8000≈100−89,44=10,56r(80) = 100 - \sqrt{8000} \approx 100 - 89{,}44 = 10{,}56 m.
  2. Кад x→∞x \to \infty, оба члана расту: неодређеност ∞−∞\infty - \infty. Множимо и делимо коњугованим изразом x+20+x2+20xx + 20 + \sqrt{x^2 + 20x}.
  3. Бројилац постаје (x+20)2−(x2+20x)=20x+400(x + 20)^2 - (x^2 + 20x) = 20x + 400, па је r(x)=20x+400x+20+x2+20xr(x) = \frac{20x + 400}{x + 20 + \sqrt{x^2 + 20x}}.
  4. Делимо са xx: r(x)=20+400x1+20x+1+20x→201+1=10r(x) = \frac{20 + \frac{400}{x}}{1 + \frac{20}{x} + \sqrt{1 + \frac{20}{x}}} \to \frac{20}{1 + 1} = 10.

Одговор: За парцелу од 80 m и 100 m разлика је око 10,56 m, а за веома велике парцеле тежи ка 10 m, половини разлике страница правоугаоника.

Задатак за вежбу

Израчунајте lim⁡x→∞(x2+3x−x2−x)\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - x}\right).

Прикажи решење

Множењем коњугованим изразом: (x2+3x)−(x2−x)x2+3x+x2−x=4xx2+3x+x2−x→41+1=2\frac{(x^2 + 3x) - (x^2 - x)}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x}} = \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x}} \to \frac{4}{1 + 1} = 2.