Функције – извод функције 5

Извод функције. Извод збира и разлике. Извод производа. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Израчунати извод функције:

Пр.10) $y = tgx - \sin x$

Пр.11) $y = \frac{{4x}}{5} - {e^x} + \frac{{\ln x}}{2} - 3arctgx + {5^x}$

Пр.12) $y = \left( {2 - 2x} \right)\left( {3{x^2} - 4x} \right)$

Пр.13) $y = {x^5} \cdot \cos x$

Пр.14) $y = 2xlnx - \frac{{{x^2}}}{4}$

Пр.15) $y = x - \sin x\cos x$

Пр.10) $y = tgx - \sin x$

$y' = {\left( {tgx} \right)^\prime } - {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \cos x = \frac{{1 - {{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}$

Пр.11) $y = \frac{{4x}}{5} - {e^x} + \frac{{\ln x}}{2} - 3arctgx + {5^x}$

$y' = {\left( {\frac{{4x}}{5}} \right)^\prime } - {\left( {{e^x}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{{\ln x}}{2}} \right)^\prime } - {\left( {3arctgx} \right)^\prime } + {\left( {{5^x}} \right)^\prime } =$

$= \frac{4}{5} \cdot 1 - {e^x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - 3 \cdot \frac{1}{{1 + {x^2}}} + {5^x}\ln 5 = \frac{4}{5} - {e^x} + \frac{1}{{2x}} - \frac{3}{{1 + {x^2}}} + {5^x}\ln 5$

Пр.12) $y = \left( {2 - 2x} \right)\left( {3{x^2} - 4x} \right)$

$y' = {\left( {2 - 2x} \right)^\prime }\left( {3{x^2} - 4x} \right) + \left( {2 - 2x} \right){\left( {3{x^2} - 4x} \right)^\prime } =$
$= \left( {2' - {{\left( {2x} \right)}^\prime }} \right)\left( {3{x^2} - 4x} \right) + \left( {2 - 2x} \right)\left( {{{\left( {3{x^2}} \right)}^\prime } - {{\left( {4x} \right)}^\prime }} \right) =$
$= - 2 \cdot \left( {3{x^2} - 4x} \right) + \left( {2 - 2x} \right)\left( {6x - 4} \right) =$
$= - 6{x^2} + 8x + 12x - 8 - 12{x^2} + 8x = - 18{x^2} + 28x - 8$

Пр.13) $y = {x^5} \cdot \cos x$

$y' = {\left( {{x^5}} \right)^\prime } \cdot \cos x + {x^5} \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } = 5{x^4}\cos x - {x^5}\sin x$

Пр.14) $y = 2xlnx - \frac{{{x^2}}}{4}$

$y' = {\left( {2xlnx} \right)^\prime } - {\left( {\frac{{{x^2}}}{4}} \right)^\prime } = {\left( {2x} \right)^\prime } \cdot lnx + 2x{\left( {lnx} \right)^\prime } - \frac{1}{4} \cdot 2x =$

$= 2\ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{2}x = 2\ln x + 2 - \frac{1}{2}x$

Пр.15) $y = x - \sin x\cos x$

$y' = x' - {\left( {\sin x} \right)^\prime }\cos x - \sin x{\left( {\cos x} \right)^\prime } = 1 - {\cos ^2}x + {\sin ^2}x=$

$= {\sin ^2}x + {\sin ^2}x = 2{\sin ^2}x$

Изводе основних функција читате из таблице: $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ , $(e^x)' = e^x$ , $(a^x)' = a^x \ln a$ , $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ . Таблицу треба знати напамет, јер се на њу своди сваки сложенији задатак. Извод производа рачуна се по правилу $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ : први чинилац изведете, а други препишете, па обрнуто, и оба сабирка саберете. На пример, $(x^2 \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .

Најчешћа грешка је $(u \cdot v)' = u' \cdot v'$ , што не важи. Ако је један чинилац константа, правило производа није потребно, јер константа само остаје испред: $(4\sin x)' = 4\cos x$ . На крају резултат средите, а код тригонометријских израза користите $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ .

Недеља4

Цена карте p(t): 480 дин.
Продато карата q(t): 540
Приход R(t): 259.200 дин.
Промена прихода R′(t): 3600 дин. по недељи

Нагиб тангенте је

R'(t) = 20q - 15p

: први сабирак доноси поскупљење, а други одузима пад продаје. У десетој недељи се изједначе, тангента је водоравна, а приход највећи, 270.000 динара.

Приход је производ цене и броја продатих комада, па трговци и економисти правилом производа процењују како ће се приход мењати кад се истовремено мењају и цена и продаја.

Летњи биоскоп

Летњи биоскоп у Новом Саду током сезоне сваке недеље мало поскупљује карту. У упрошћеном моделу у $t$ -тој недељи карта кошта $p(t) = 400 + 20t$ динара, а недељно се прода $q(t) = 600 - 15t$ карата. Недељни приход је $R(t) = p(t) \cdot q(t)$ . Колико брзо се приход мења у четвртој недељи и до када расте?

Решење

Изводи чинилаца су $p'(t) = 20$ и $q'(t) = -15$ .
По правилу производа: $R'(t) = p'(t)q(t) + p(t)q'(t) = 20(600 - 15t) - 15(400 + 20t) = 6000 - 600t$ .
У четвртој недељи је $p(4) = 480$ и $q(4) = 540$ , па је $R'(4) = 20 \cdot 540 - 15 \cdot 480 = 10\,800 - 7200 = 3600$ .
Приход расте док је $R'(t) > 0$ , тј. до $t = 10$ . После тога поскупљење више не покрива губитак због мање продатих карата.

Одговор: У четвртој недељи приход расте за око 3600 динара недељно, а расте до десете недеље.

Задатак за вежбу

Одредите извод функције $y = (x^2 + 1)\operatorname{arctg} x$ и израчунајте $y'(1)$ .

Прикажи решење

$y' = 2x\operatorname{arctg} x + (x^2 + 1) \cdot \frac{1}{1 + x^2} = 2x\operatorname{arctg} x + 1$ , па је $y'(1) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{\pi}{2} + 1 \approx 2{,}57$ .