Функције – изводи вишег реда 1

Изводи вишег реда. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Одредити све изводе дате фунцкије:

$y = 2{x^4} - 3{x^2} + 5$

Пр.2) Одредити тећи извод функције:

$y = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}$

Пр.1) $y = 2{x^4} - 3{x^2} + 5$

$y' = 8{x^3} - 6x + 0 = 8{x^3} - 6x$
$y'' = 24{x^3} - 6$
$y''' = 48{x^3} - 0 = 48{x^3}$
${y^{IV}} = 48$
${y^V} = 0$
${y^{VI}} = 0$

Пр.2) $y = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}$

$\begin{aligned}&y' = \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^\prime }\left( {1 + x} \right) - \left( {1 - x} \right){{\left( {1 + x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1\left( {1 + x} \right) - \left( {1 - x} \right)1}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} = \\ &= \frac{{ - 1 - x - 1 + x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} \\ &y'' = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^\prime }{{\left( {1 + x} \right)}^2} - \left( { - 2} \right){{\left( {{{\left( {1 + x} \right)}^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^4}}} = \frac{{4\left( {1 + x} \right)}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^4}}} = \frac{4}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}} \\ &y''' = \frac{{4'{{\left( {1 + x} \right)}^3} - 4{{\left( {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^6}}} = \frac{{ - 12{{\left( {1 + x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^6}}} = \frac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}\end{aligned}$

Други извод је извод првог извода, $y'' = (y')'$ , трећи је извод другог и тако даље. Од четвртог извода надаље уместо цртица пишете $y^{IV}$ , $y^{V}$ или $y^{(n)}$ . Код полинома сваки извод смањује степен за један, па полином степена $n$ има константан $n$ -ти извод, а сви виши изводи су нула: за $y = 2x^4 - 3x^2 + 5$ је $y^{IV} = 48$ и $y^{V} = 0$ . Код разломка $\frac{1 - x}{1 + x}$ сваки нови извод повећава степен имениоца: $y' = -\frac{2}{(1 + x)^2}$ , $y'' = \frac{4}{(1 + x)^3}$ , $y''' = -\frac{12}{(1 + x)^4}$ .

Честа грешка је да се при поновном извођењу изложилац не смањи: из $8x^3$ следи $24x^2$ , а не $24x^3$ . Сваки извод средите пре следећег.

Време5 s

Пут s: 7,5 m
Брзина s′: 4 m/s
Убрзање s″: 1,2 m/s²
Трзај s‴: 0 m/s³

Нагиб тангенте на график брзине је убрзање. У петој секунди нагиб је највећи, па је трзај ту нула; у десетој секунди тангента је водоравна, јер трамвај више не убрзава.

Ако је $s(t)$ пређени пут, онда је $s'$ брзина, $s''$ убрзање, а $s'''$ трзај. Инжењери ограничавају трзај кад пројектују полазак трамваја, лифтова и вожњу на тобоганима, да путници не би осетили нагле ударе.

Полазак трамваја

Трамвај креће са станице и у упрошћеном моделу после $t$ секунди пређе $s(t) = 0{,}08t^3 - 0{,}004t^4$ метара, за $0 \le t \le 10$ . Одредите све изводе функције $s$ , па израчунајте брзину, убрзање и трзај после 5 секунди.

Решење

Брзина је $v = s' = 0{,}24t^2 - 0{,}016t^3$ , а убрзање $a = s'' = 0{,}48t - 0{,}048t^2$ .
Трзај је $s''' = 0{,}48 - 0{,}096t$ , затим $s^{IV} = -0{,}096$ , а $s^{(n)} = 0$ за свако $n \ge 5$ .
После 5 s: $v(5) = 6 - 2 = 4$ m/s и $a(5) = 2{,}4 - 1{,}2 = 1{,}2$ m/s².
$s'''(5) = 0{,}48 - 0{,}48 = 0$ : убрзање је тада највеће и почиње да опада, а у $t = 10$ s пада на нулу, при брзини од 8 m/s.

Одговор: После 5 s трамвај вози 4 m/s и убрзава са 1,2 m/s², а трзај је нула; четврти извод је стално $-0{,}096$ , а сви виши изводи су нула.

Задатак за вежбу

Одредите трећи извод функције $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

Прикажи решење

$y = 1 + \frac{3}{x - 1}$ , па је $y' = -\frac{3}{(x - 1)^2}$ , $y'' = \frac{6}{(x - 1)^3}$ и $y''' = -\frac{18}{(x - 1)^4}$ .