Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Одређени интеграл 3

Одређени интеграл. Основна својства. Метода смене код одређеног интеграла. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.6)   Решити   ∫ee2dxxln⁡x\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{dx}}{{x\ln x}}}

Пр.7)   ∫23,5dx5+4x−x2\int\limits_2^{3,5} {\frac{{dx}}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}}

Пр.6)   ∫ee2dxxln⁡x=\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{dx}}{{x\ln x}}}=

ln⁡x=t1xdx=dtx=ex=e2t=ln⁡e=1t=ln⁡e2=2ln⁡e=2\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\ln x = t \\ &\frac{1}{x}dx = dt\end{aligned} &\begin{aligned}&x = e \\ &x = {e^2}\end{aligned} &\begin{aligned}&t = \ln e = 1 \\ &t = \ln {e^2} = 2\ln e = 2\end{aligned} \end{array}

=∫12dtt=lnt⁡∣12=ln⁡2−ln⁡1⏟=0=ln⁡2= \int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t}} = \left. {\operatorname{lnt} } \right|_1^2 = \ln 2 - \underbrace {\ln 1}_{ = 0} = \ln 2

Пр.7)   ∫23,5dx5+4x−x2=∫23,5dx5+4−4+4x−x2=∫23,5dx9−(4+4x−x2)=\int\limits_2^{3,5} {\frac{{dx}}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}} = \int\limits_2^{3,5} {\frac{{dx}}{{\sqrt {5 + 4 - 4 + 4x - {x^2}} }}} = \int\limits_2^{3,5} {\frac{{dx}}{{\sqrt {9 - \left( {4 + 4x - {x^2}} \right)} }}} =

=∫23,5dx9−(2−x)2=∫23,5dx9(1−(2−x)29)=∫23,5dx3(1−(2−x3)2)== \int\limits_2^{3,5} {\frac{{dx}}{{\sqrt {9 - {{\left( {2 - x} \right)}^2}} }}} = \int\limits_2^{3,5} {\frac{{dx}}{{\sqrt {9\left( {1 - \frac{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{9}} \right)} }}} = \int\limits_2^{3,5} {\frac{{dx}}{{3\sqrt {\left( {1 - {{\left( {\frac{{2 - x}}{3}} \right)}^2}} \right)} }}} =

2−x3=t−13dx=dtdx=−3dtx=2x=3,5t=0t=2−2,53=−1,53=−12\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\frac{{2 - x}}{3} = t \\ &- \frac{1}{3}dx = dt \\ &dx = - 3dt\end{aligned} &\begin{aligned}&x = 2 \\ &x = 3,5\end{aligned} &\begin{aligned}&t = 0 \\ &t = \frac{{2 - 2,5}}{3} = \frac{{ - 1,5}}{3} = - \frac{1}{2}\end{aligned} \end{array}

=13∫0−12−3dt1−t2=−∫0−12dt1−t2=−arcsin⁡t∣0−12=−arcsin⁡(−12)+arcsin⁡0== \frac{1}{3}\int\limits_0^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{ - 3dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} = - \int\limits_0^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} = - \left. {\arcsin t} \right|_0^{ - \frac{1}{2}} = - \arcsin \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \arcsin 0 =

arcsin⁡(−12)=x−12=sin⁡xx=−π6arcsin⁡(0)=y0=sin⁡yy=0\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\arcsin \left( { - \frac{1}{2}} \right) = x \\ &- \frac{1}{2} = \sin x \\ &x = - \frac{\pi }{6}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\arcsin \left( 0 \right) = y \\ &0 = \sin y \\ &y = 0\end{aligned} \end{array}

=π6+0=π6= \frac{\pi }{6} + 0 = \frac{\pi }{6}

Сложенији одређени интеграли решавају се истим сменама као неодређени, уз промену граница. Кад уз ln⁡x\ln x стоји dxx\frac{dx}{x}, смена t=ln⁡xt = \ln x претвара границе ee и e2e^2 у 1 и 2. Код корена из квадратног тринома са негативним коефицијентом уз x2x^2 трином допуните до квадрата, −x2+2px+q=(q+p2)−(x−p)2-x^2 + 2px + q = (q + p^2) - (x - p)^2, извуците константу испред корена и уведите t=x−pq+p2t = \frac{x - p}{\sqrt{q + p^2}}; добија се таблични ∫dt1−t2=arcsin⁡t\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \arcsin t. Вредности арксинуса читајте из специјалних углова: arcsin⁡12=π6\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}, arcsin⁡22=π4\arcsin\frac{\sqrt 2}{2} = \frac{\pi}{4}.

Пазите на знак кад смена обрне ред граница и проверите да ли је подинтегрална функција дефинисана на целом интервалу.

22263034380,040,080,12x (cm)1/v (s/cm)1/v
35 cm
Време (површина)
0,167 s
arcsin((b − 30)/10) / π
0,167 s
Крива је 1v\frac{1}{v}, време потребно за сваки центиметар пута. Површина испод ње од 30 до bb је време, 1πarcsin⁡b−3010\frac{1}{\pi}\arcsin\frac{b - 30}{10}. Близу 40 cm тег скоро стаје, па крива расте и сваки центиметар траје све дуже.

Време у хармонијском осциловању рачуна се баш оваквим интегралом са арксинусом: инжењери тако анализирају кретање тегова на опругама, клипова и вибрације машина.

Тег на опрузи

Ученици у кабинету физике посматрају тег на опрузи који осцилује између висина 20 cm и 40 cm изнад стола, са периодом 2 s. Из мерења се зна да је на висини xx (у cm) брзина тега v=π−x2+60x−800v = \pi\sqrt{-x^2 + 60x - 800} центиметара у секунди. Колико времена треба тегу да се са висине 30 cm подигне на 35 cm, а колико за наредних 5 cm, до 40 cm?

Решење

  1. Време за пут dxdx је dt=dxvdt = \frac{dx}{v}, па је t=1π∫3035dx−x2+60x−800t = \frac{1}{\pi}\int_{30}^{35}\frac{dx}{\sqrt{-x^2 + 60x - 800}}.
  2. Допуна до квадрата: −x2+60x−800=100−(x−30)2=100(1−(x−3010)2)-x^2 + 60x - 800 = 100 - (x - 30)^2 = 100\left(1 - \left(\frac{x - 30}{10}\right)^2\right).
  3. Смена u=x−3010u = \frac{x - 30}{10}, dx=10 dudx = 10\,du; границе: x=30x = 30 даје u=0u = 0, а x=35x = 35 даје u=12u = \frac{1}{2}. Тада је t=1π∫01210 du101−u2=1πarcsin⁡u∣012t = \frac{1}{\pi}\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{10\,du}{10\sqrt{1 - u^2}} = \frac{1}{\pi}\arcsin u\Big|_0^{\frac{1}{2}}.
  4. t=1π⋅π6=16t = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{6} s, а за наредних 5 cm, до 40 cm, је 1π(arcsin⁡1−arcsin⁡12)=1π(π2−π6)=13\frac{1}{\pi}\left(\arcsin 1 - \arcsin\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{3} s.

Одговор: Од 30 cm до 35 cm тег стигне за 16\frac{1}{6} s, а за наредних 5 cm, где успорава, треба му двоструко више, 13\frac{1}{3} s.

Задатак за вежбу

Израчунајте ∫1eln⁡2xx dx\int_1^{e}\frac{\ln^2 x}{x}\,dx.

Прикажи решење

Смена t=ln⁡xt = \ln x, dt=dxxdt = \frac{dx}{x}, границе 0 и 1: ∫01t2 dt=t33∣01=13\int_0^1 t^2\,dt = \frac{t^3}{3}\Big|_0^1 = \frac{1}{3}.