Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Неодређени интеграли 4

Интеграли. Особине интеграла. Примери табличних интеграла. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.19)   Решити ∫dx3x2−3\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {3{x^2} - 3} }}}

Пр.20)   ∫x2dx1+x2\int {\frac{{{x^2}dx}}{{1 + {x^2}}}}

Пр.21)   ∫x3−x2+xx2+1dx\int {\frac{{{x^3} - {x^2} + x}}{{{x^2} + 1}}} dx

Пр.22)   ∫(1+2x2)x2(1+x2)dx\int {\frac{{\left( {1 + 2{x^2}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}} dx

Пр.23)   ∫x4dxx2+1\int {\frac{{{x^4}dx}}{{{x^2} + 1}}}

Пр.19)   ∫dx3x2−3=∫dx3(x2−1)=∫dx3⋅x2−1=13∫dxx2−1=\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {3{x^2} - 3} }}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {3\left( {{x^2} - 1} \right)} }}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {{x^2} - 1} }}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} =

=13ln⁡∣x+x2−1∣+C= \frac{1}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right| + C

Пр.20)   ∫x2dx1+x2=∫x2+1−11+x2dx=∫x2+11+x2dx−∫11+x2dx=\int {\frac{{{x^2}dx}}{{1 + {x^2}}}} = \int {\frac{{{x^2} + 1 - 1}}{{1 + {x^2}}}} dx = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{{1 + {x^2}}}} dx - \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} dx =

=∫dx−∫11+x2dx=x−arctgx+C= \int {dx} - \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} dx = x - arctgx + C

Пр.21)   ∫x3−x2+xx2+1dx=∫x3+xx2+1dx−∫x2x2+1dx=∫x(x2+1)x2+1dx−∫x2+1−1x2+1dx=\int {\frac{{{x^3} - {x^2} + x}}{{{x^2} + 1}}} dx = \int {\frac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}}} dx - \int {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}} dx = \int {\frac{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} dx - \int {\frac{{{x^2} + 1 - 1}}{{{x^2} + 1}}} dx =

=∫xdx−∫x2+1x2+1dx+∫1x2+1dx=x22−x+arctgx+C= \int x dx - \int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}}} dx + \int {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - x + arctgx + C

Пр.22)   ∫(1+2x2)x2(1+x2)dx=∫1+x2+x2x2(1+x2)dx=∫(1+x2x2(1+x2)+x2x2(1+x2))dx=\int {\frac{{\left( {1 + 2{x^2}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}} dx = \int {\frac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}} dx = \int {\left( {\frac{{1 + {x^2}}}{{{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}} \right)} dx =

=∫1+x2x2(1+x2)dx+∫x2x2(1+x2)dx=∫1x2dx+∫11+x2dx== \int {\frac{{1 + {x^2}}}{{{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}} dx + \int {\frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}} dx = \int {\frac{1}{{{x^2}}}} dx + \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} dx =

=∫x−2dx+arctgx+C=x−1−1+arctgx+C=−1x+arctgx+C= \int {{x^{ - 2}}} dx + arctgx + C = \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + arctgx + C = - \frac{1}{x} + arctgx + C

Пр.23)   ∫x4dxx2+1=∫x4−1+1x2+1dx=∫(x4−1x2+1+1x2+1)dx=∫x4−1x2+1dx+∫1x2+1dx=\int {\frac{{{x^4}dx}}{{{x^2} + 1}}} = \int {\frac{{{x^4} - 1 + 1}}{{{x^2} + 1}}} dx = \int {\left( {\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)} dx = \int {\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}}} dx + \int {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} dx =

=∫(x2−1)(x2+1)x2+1dx+∫1x2+1dx== \int {\frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} dx + \int {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} dx =

=∫x2dx−∫dx+∫1x2+1dx=x33−x+arctgx+C= \int {{x^2}} dx - \int {dx + \int {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{{{x^3}}}{3}} - x + arctgx + C

Разломак у ком бројилац није једноставнији од имениоца прво средите, јер таблица има само неколико готових облика. Ако је степен бројиоца већи или једнак степену имениоца, поделите полиноме или у бројиоцу додајте и одузмите исти број: x21+x2=1−11+x2\frac{x^2}{1 + x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2}. Бројилац можете и раздвојити тако да се део скрати са имениоцем: 1+2x2x2(1+x2)=1x2+11+x2\frac{1 + 2x^2}{x^2(1 + x^2)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{1 + x^2}. Затим користите табличне интеграле ∫dx1+x2=arctg⁡x+C\int \frac{dx}{1 + x^2} = \operatorname{arctg} x + C и ∫dxx2−1=ln⁡∣x+x2−1∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - 1}\right| + C. Ако испред x2x^2 под кореном стоји број, као у 3x2−3\sqrt{3x^2 - 3}, прво га извуците испред интеграла.

Честа грешка је ∫dx1+x2=ln⁡(1+x2)\int \frac{dx}{1 + x^2} = \ln(1 + x^2), а то није тачно: извод од ln⁡(1+x2)\ln(1 + x^2) је 2x1+x2\frac{2x}{1 + x^2}.

246820406080100t (h)делова на сат
8 h
Направљено делова
655
100(T − arctg T)
655
Пуном брзином
800
Површина испод графика је број направљених делова. Разлика до пуне брзине је 100t2+1\frac{100}{t^2 + 1}, а њена површина, 100arctg⁡T100\operatorname{arctg} T, никад не прелази 50π≈15750\pi \approx 157 делова.

Брзина многих процеса прво расте, па се устали, на пример учинак нове производне линије или брзина воза при поласку. Таква брзина може да се опише разломком, а укупна количина или пређени пут рачунају се баш овим триковима.

Прва смена нове линије

Нова производна линија у фабрици у првој смени тек достиже пуну брзину. У упрошћеном моделу после tt сати рада она прави r(t)=100t2t2+1r(t) = \frac{100t^2}{t^2 + 1} делова на сат, што тежи пуној брзини од 100 делова на сат. Колико делова линија направи за смену од 8 сати?

Решење

  1. Број делова N(t)N(t) је примитивна функција брзине, уз услов N(0)=0N(0) = 0.
  2. Додамо и одузмемо 1 у бројиоцу: t2t2+1=(t2+1)−1t2+1=1−1t2+1\frac{t^2}{t^2 + 1} = \frac{(t^2 + 1) - 1}{t^2 + 1} = 1 - \frac{1}{t^2 + 1}.
  3. Интеграл је N(t)=100∫(1−1t2+1)dt=100(t−arctg⁡t)+CN(t) = 100\int\left(1 - \frac{1}{t^2 + 1}\right)dt = 100(t - \operatorname{arctg} t) + C, а из N(0)=0N(0) = 0 следи C=0C = 0.
  4. За t=8t = 8 је arctg⁡8≈1,446\operatorname{arctg} 8 \approx 1{,}446, па је N(8)≈100(8−1,446)≈655N(8) \approx 100(8 - 1{,}446) \approx 655.

Одговор: У првој смени линија направи око 655 делова, уместо 800 колико би направила пуном брзином.

Задатак за вежбу

Израчунајте ∫2x2+3x2+1 dx\int \frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}\,dx.

Прикажи решење

2x2+3x2+1=2(x2+1)+1x2+1=2+1x2+1\frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) + 1}{x^2 + 1} = 2 + \frac{1}{x^2 + 1}, па је интеграл 2x+arctg⁡x+C2x + \operatorname{arctg} x + C.