Функције – извод функције 6

Извод функције. Извод производа и количника. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити извод функције:

Пр.16) $y = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}$

Пр.17) $y = \frac{{{e^x}}}{{{x^4}}}$

Пр.18) $y = \frac{{\ln x + 1}}{{\ln x}}$

Пр.19) $y = \frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}$

Пр.20) $y = \frac{{arctgx}}{x} - \frac{{\ln x}}{2}$

Пр.16) $y = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}$

$y' = \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime } \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2}} \right) \cdot {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {{x^2} + 1} \right) - {x^2} \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} =$

$= \frac{{2x\left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

Пр.17) $y = \frac{{{e^x}}}{{{x^4}}}$

$y' = \frac{{{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }{x^4} - {e^x}{{\left( {{x^4}} \right)}^\prime }}}{{{x^8}}} = \frac{{{e^x} \cdot {x^4} - {e^x} \cdot 4{x^3}}}{{{x^8}}} = \frac{{{e^x} \cdot {x^3}\left( {x - 4} \right)}}{{{x^8}}} = \frac{{{e^x} \cdot \left( {x - 4} \right)}}{{{x^5}}}$

Пр.18) $y = \frac{{\ln x + 1}}{{\ln x}}$

$y' = \frac{{{{\left( {\ln x + 1} \right)}^\prime }\ln x - {{\left( {\ln x} \right)}^\prime }\left( {\ln x + 1} \right)}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\frac{1}{x}\left( {\ln x - \ln x - 1} \right)}}{{{{\ln }^2}x}} =$

$= \frac{{ - \frac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}$

Пр.19)

$y = \frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}$

$y' = {\left( {\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {1 - \cos x} \right)}^\prime }\left( {1 + \cos x} \right) - {{\left( {1 + \cos x} \right)}^\prime }\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} =$

$= \frac{{\sin x\left( {1 + \cos x} \right) + \sin x\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = \frac{{\sin x\left( {1 + \cos x + 1 - \cos x} \right)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = \frac{{2\sin x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}$

Пр.20) $y = \frac{{arctgx}}{x} - \frac{{\ln x}}{2}$

$y' = {\left( {\frac{{arctgx}}{x}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{{\ln x}}{2}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {arctgx} \right)}^\prime }x - x'arctgx}}{{{x^2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} =$

$= \frac{{\frac{1}{{1 + {x^2}}}x - arctgx}}{{{x^2}}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{{\frac{{x - \left( {1 + {x^2}} \right) \cdot arctgx}}{{1 + {x^2}}}}}{{{x^2}}} - \frac{1}{{2x}} =$

$= \frac{{x - \left( {1 + {x^2}} \right) \cdot arctgx}}{{\left( {1 + {x^2}} \right){x^2}}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{{2x - 2\left( {1 + {x^2}} \right) \cdot arctgx - x\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{2\left( {1 + {x^2}} \right){x^2}}} =$

$= \frac{{2x - 2arctgx\left( {1 + {x^2}} \right) - x - {x^3}}}{{2\left( {1 + {x^2}} \right){x^2}}} = \frac{{x - {x^3} - 2arctgx\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{2{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}$

Извод количника рачуна се по правилу $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , где је $v \ne 0$ . Редослед у бројиоцу је важан: прво извод бројиоца пута именилац, па минус бројилац пута извод имениоца. Ако их замените, добијате резултат супротног знака. Именилац се само квадрира и обично се не развија. После извођења у бројиоцу издвојите заједнички чинилац и скратите га са имениоцем, ако може: за $\frac{x}{x + 1}$ добија се $\frac{1}{(x + 1)^2}$ .

Кад је у бројиоцу константа, брже је $\left(\frac{c}{v}\right)' = -\frac{c \cdot v'}{v^2}$ . Ако је именилац број, правило количника није потребно: $\left(\frac{\ln x}{2}\right)' = \frac{1}{2x}$ . Код тригонометријских разломака на крају често помаже $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ .

Време1 h

Концентрација c(t): 2 mg/l
Брзина промене c′(t): 1,2 mg/l по сату

Нагиб тангенте је

c'(t) = \frac{40 - 10t^2}{(t^2 + 4)^2}

. До

t = 2

h је позитиван и концентрација расте, у

t = 2

h је нула, а после тога организам лек избацује брже него што га упија.

Концентрација лека у крви, просечан трошак по производу и многе формуле у физици описују се количницима, а њихова брзина промене рачуна се правилом количника.

Лек у крви

У упрошћеном моделу концентрација лека у крви $t$ сати после узимања таблете је $c(t) = \frac{10t}{t^2 + 4}$ милиграма по литру. Колико брзо се концентрација мења после 1 сата, а колико после 3 сата?

Решење

Бројилац је $u = 10t$ , па је $u' = 10$ ; именилац је $v = t^2 + 4$ , па је $v' = 2t$ .
$c'(t) = \frac{10(t^2 + 4) - 10t \cdot 2t}{(t^2 + 4)^2} = \frac{40 - 10t^2}{(t^2 + 4)^2}$ .
После 1 сата: $c'(1) = \frac{40 - 10}{25} = 1{,}2$ , па концентрација расте.
После 3 сата: $c'(3) = \frac{40 - 90}{169} \approx -0{,}30$ , па концентрација опада. Највећа је кад је $c'(t) = 0$ , тј. у $t = 2$ h, и износи $c(2) = 2{,}5$ милиграма по литру.

Одговор: После 1 сата концентрација расте за 1,2 милиграма по литру на сат, а после 3 сата опада за око 0,30 милиграма по литру на сат.

Задатак за вежбу

Одредите извод функције $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ и израчунајте $y'(0)$ .

Прикажи решење

$y' = \frac{\cos x(1 + \cos x) + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$ , па је $y'(0) = \frac{1}{2}$ .