Функције – граничне вредности функција 8

Гранична вредност функције. Лимеси тригонометријских, логаритамских и експоненцијалних функција, сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Одредити граничне вредности:

пр.26) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}$

пр.27) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (a + x) - lna}}{x}$

пр.28) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{2x}}$

пр.29) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{ax}} - {e^{bx}}}}{x}$

пр.26)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}} = \frac{{\operatorname{t} g0 - \sin 0}}{{{{\sin }^3}0}} = \frac{{0 - 0}}{0} = \frac{0}{0} \\ &\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x - \sin x\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{{{\sin }^3}x}}{1}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \sin x\cos x}}{{{{\sin }^3}x\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\sin }^3}x\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos x} \right)}}{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\cos x}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos x} \right)}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\cos x}} = \frac{1}{2}\end{aligned}$

пр.27)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (a + x) - lna}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{a + x}}{a})}}{{\frac{x}{a}a}} = \frac{1}{a} \\ &\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (x + 1)}}{x} = 1}\end{aligned}$

пр.28)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - \frac{1}{{{e^x}}}}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{{\left( {{e^x}} \right)}^2} - 1}}{{{e^x}}}}}{{\frac{{2x}}{1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{2x{e^x}}} = \frac{1}{{{e^0}}} = \frac{1}{1} = 1 \\ &\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1}\end{aligned}$

пр.29)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{ax}} - {e^{bx}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{ax}} - 1 + 1 - {e^{bx}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{e^{ax}} - 1}}{x} + \frac{{1 - {e^{bx}}}}{x}} \right) = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{ax}} - 1}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {e^{bx}}}}{x} = a + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {e^{bx}}}}{{bx}}b = a + \left( { - b} \right) = a - b \\ &\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1}\end{aligned}$

Поред $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ , у задацима се користе и $\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ и $\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ , а уопште $\frac{a^x - 1}{x} \to \ln a$ . Сви ови лимеси дају неодређеност $\frac{0}{0}$ , па их не можете израчунати уврштавањем. Израз прво сведите на један од тих облика, са истим аргументом: $\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \cdot \frac{e^{3x} - 1}{3x} \to 3$ .

Код $\frac{\operatorname{tg} x - \sin x}{\sin^3 x}$ напишите $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , издвојите $\sin x$ и користите $\sin^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$ , па добијате $\frac{1}{2}$ . Код $\frac{\ln(a + x) - \ln a}{x}$ спојите логаритме у $\ln\left(1 + \frac{x}{a}\right)$ , а код $\frac{e^{ax} - e^{bx}}{x}$ додајте и одузмите 1. Ови лимеси значе да је за мало $x$ : $\ln(1 + x) \approx x$ и $e^x \approx 1 + x$ . У задацима се често комбинују: у сложеном количнику сваки чинилац сведите на његов основни облик, па помножите добијене граничне вредности.

Тачка x₀0,5

(eˣ − 1)/x у x₀: 1,2974

Близу нуле крива

y = e^x - 1

скоро се поклапа са испрекиданом правом

y = x

, па је количник

\frac{e^x - 1}{x}

близак 1. Укључите и

y = \ln(1 + x)

: и она се уз нулу припија уз исту праву.

Апроксимације $e^x \approx 1 + x$ и $\ln(1 + x) \approx x$ , које следе из ових лимеса, користе се у физици и економији: притисак ваздуха при малом успону опада скоро линеарно, а „правило 70“ за време удвостручења уштеђевине следи из $\ln(1 + x) \approx x$ .

Притисак при пењању

У подножју брда барометар показује $1000\ \mathrm{hPa}$ . На висини од $h$ метара изнад подножја притисак је приближно $p(h) = 1000 \cdot e^{-\frac{h}{8000}}\ \mathrm{hPa}$ . Помоћу граничне вредности покажите да за мале висине притисак опада приближно за $\frac{h}{8}\ \mathrm{hPa}$ , па упоредите тачан и приближан пад за успон од 100 m.

Решење

Пад притиска је $\Delta p = 1000 - 1000e^{-\frac{h}{8000}} = 1000\left(1 - e^{-\frac{h}{8000}}\right)$ .
Са $x = -\frac{h}{8000}$ је $1 - e^{-\frac{h}{8000}} = -(e^x - 1) = \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{h}{8000}$ .
Кад $h \to 0$ , и $x \to 0$ , а $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ , па је за мале висине $\Delta p \approx 1000 \cdot \frac{h}{8000} = \frac{h}{8}\ \mathrm{hPa}$ .
За $h = 100$ m тачан пад је $1000\left(1 - e^{-0{,}0125}\right) \approx 12{,}42\ \mathrm{hPa}$ , а приближан $\frac{100}{8} = 12{,}5\ \mathrm{hPa}$ .

Одговор: При успону од 100 m притисак опадне за око $12{,}4\ \mathrm{hPa}$ ; апроксимација даје $12{,}5\ \mathrm{hPa}$ , тј. око $1\ \mathrm{hPa}$ на сваких 8 m успона.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + 4x)}{\sin 2x}$ .

Прикажи решење

$\frac{\ln(1 + 4x)}{\sin 2x} = \frac{\ln(1 + 4x)}{4x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{4x}{2x} \to 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ .