Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – асимптоте функција 2

Хоризонтална асимптота, дефиниција, једноставни и сложенији примери.

Задаци

Текстови задатака објашњених у видео лекцији.

Одредити асимптоту графика функције:

пр.4)   f(x)=2xf(x) = {2^x}

пр.5)   f(x)=arctgxf(x) = arctgx

пр.6)   f(x)=2−2x2x2+3f(x) = \frac{{2 - 2{x^2}}}{{{x^2} + 3}}

пр.7)   f(x)=x2+2−x2−5xf(x) = \sqrt {{x^2} + 2} - \sqrt {{x^2} - 5x}

пр.4)   f(x)=2xf(x) = {2^x}

441 png

lim⁡x→−∞2x=0\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {2^x} = 0

lim⁡x→+∞2x=+∞\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {2^x} = + \infty

Хоризонтална асимптота:

y=0x→−∞\boxed{\mathop {y = 0}\limits_{x \to - \infty } }

пр.5)   f(x)=arctgxf(x) = arctgx

442 png

lim⁡x→−∞arctgx=−π2\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } arctgx = - \frac{\pi }{2}

lim⁡x→+∞arctgx=π2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } arctgx = \frac{\pi }{2}

Хоризонтална асимптота:

y=−π2x→−∞y=π2x→+∞\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&y = - \frac{\pi }{2} \\ &x \to - \infty\end{aligned} &\begin{aligned}&y = \frac{\pi }{2} \\ &x \to + \infty\end{aligned} \end{array}

пр.6)   f(x)=2−2x2x2+3f(x) = \frac{{2 - 2{x^2}}}{{{x^2} + 3}}

lim⁡x→+∞2−2x2x2+3=lim⁡x→+∞2x2−2x2x2x2x2+3x2=0−21+0=−2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - 2{x^2}}}{{{x^2} + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{{{x^2}}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = \frac{{0 - 2}}{{1 + 0}} = - 2

Десна хоризонтална асимптота: 

y=−2y=-2

lim⁡x→−∞2−2x2x2+3=lim⁡x→+∞2−2(−t)2(−t)2+3=lim⁡t→+∞2t2−2t2t2t2t2+3t2=0−21+0=−2\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - 2{x^2}}}{{{x^2} + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - 2{{\left( { - t} \right)}^2}}}{{{{\left( { - t} \right)}^2} + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{\frac{2}{{{t^2}}} - \frac{{2{t^2}}}{{{t^2}}}}}{{\frac{{{t^2}}}{{{t^2}}} + \frac{3}{{{t^2}}}}} = \frac{{0 - 2}}{{1 + 0}} = - 2

Лева хоризонтална асимптота: 

y=−2y=-2

449 png

пр.7)   f(x)=x2+2−x2−5xf(x) = \sqrt {{x^2} + 2} - \sqrt {{x^2} - 5x}

Df:x2+2⩾0∀x∈Rx2−5x⩾0x(x−5)⩾0x=0;x=5\begin{aligned}&Df:{x^2} + 2 \geqslant 0 \\ &\forall x \in \mathbb{R} \\ & \\ &{x^2} - 5x \geqslant 0 \\ &x\left( {x - 5} \right) \geqslant 0 \\ &x = 0;x = 5\end{aligned}

445 png

Df:x∈(−∞;0]∪[5;+∞)Df:x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)

lim⁡x→+∞(x2+2−x2−5x)⋅x2+2+x2−5xx2+2+x2−5x==lim⁡x→+∞x2+2−(x2−5x)x2+2+x2−5x=lim⁡x→+∞x2+2−(x2−5x)x2+2+x2−5x==lim⁡x→+∞2x+5xx−(x2−5x)x2+2x2+x2−5xx2=lim⁡x→+∞0+51+1=52\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2} - \sqrt {{x^2} - 5x} } \right) \cdot \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} + \sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {{x^2} + 2} + \sqrt {{x^2} - 5x} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2 - \left( {{x^2} - 5x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + \sqrt {{x^2} - 5x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2 - \left( {{x^2} - 5x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + \sqrt {{x^2} - 5x} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x} + \frac{{5x}}{x} - \left( {{x^2} - 5x} \right)}}{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{\sqrt {{x^2}} }} + \frac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {{x^2}} }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{0 + 5}}{{\sqrt 1 + \sqrt 1 }} = \frac{5}{2}\end{aligned}

Десна хоризонтална асимптота: 

y=52y= \frac{5}{2}

lim⁡x→−∞(x2+2−x2−5x)=lim⁡t→+∞((−t)2+2−(−t)2−5(−t))=x=−tx→−∞t→+∞=lim⁡t→∞(t2+2−t2+5t)==lim⁡t→∞(t2+2−t2+5t)⋅t2+2+t2+5tt2+2+t2+5t==lim⁡t→∞t2+2−t2−5tt2+2+t2+5t=lim⁡t→∞2−5tt2+2+t2+5t==lim⁡t→∞2t−51+2t2+1+5t=−52\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2} - \sqrt {{x^2} - 5x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {\sqrt {{{\left( { - t} \right)}^2} + 2} - \sqrt {{{\left( { - t} \right)}^2} - 5\left( { - t} \right)} } \right) = \\ &x = - t \\ &x \to - \infty \\ &t \to + \infty \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\sqrt {{t^2} + 2} - \sqrt {{t^2} + 5t} } \right) = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\sqrt {{t^2} + 2} - \sqrt {{t^2} + 5t} } \right) \cdot \frac{{\sqrt {{t^2} + 2} + \sqrt {{t^2} + 5t} }}{{\sqrt {{t^2} + 2} + \sqrt {{t^2} + 5t} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{t^2} + 2 - {t^2} - 5t}}{{\sqrt {{t^2} + 2} + \sqrt {{t^2} + 5t} }} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{2 - 5t}}{{\sqrt {{t^2} + 2} + \sqrt {{t^2} + 5t} }} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\frac{2}{t} - 5}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{t^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{5}{t}} }} = - \frac{5}{2}\end{aligned}

Лева хоризонтална асимптота: 

y=−52y=- \frac{5}{2}

450 png

Права y=by = b је хоризонтална асимптота ако је lim⁡x→+∞f(x)=b\lim_{x \to +\infty} f(x) = b (десна) или lim⁡x→−∞f(x)=b\lim_{x \to -\infty} f(x) = b (лева). Леву и десну рачунајте посебно, јер не морају бити исте: arctg⁡x\operatorname{arctg} x тежи ка π2\frac{\pi}{2} десно, а ка −π2-\frac{\pi}{2} лево, а 2x2^x има само леву асимптоту y=0y = 0.

Код рационалне функције са једнаким степенима бројиоца и имениоца асимптота је количник водећих коефицијената: за 2−2x2x2+3\frac{2 - 2x^2}{x^2 + 3} то је y=−2y = -2 са обе стране. Код корена, за x→−∞x \to -\infty уведите смену x=−tx = -t, t→+∞t \to +\infty, јер је тада x2=−x\sqrt{x^2} = -x. Тако x2+2−x2−5x\sqrt{x^2 + 2} - \sqrt{x^2 - 5x} има десну асимптоту y=52y = \frac{5}{2}, а леву y=−52y = -\frac{5}{2}.

510152025303510203040506070t (s)v (m/s)v(t)P
50 m/s
5 s
10 s
Брзина v(t)
43,2 m/s
До граничне брзине
6,8 m/s
Испрекидана права је хоризонтална асимптота v=vgv = v_g. Крива јој се стално приближава, али је не достиже. Што је τ\tau мање, крива се брже приближава асимптоти, а сам положај асимптоте зависи само од vgv_g.

Хоризонтална асимптота показује стање у које се систем смирује: граничну брзину падобранца, температуру на коју се тело охлади или загреје, или концентрацију лека у крви при сталној инфузији.

Брзина падобранца

У поједностављеном моделу брзина падобранца tt секунди после искакања, пре отварања падобрана, износи v(t)=50(1−e−t5)v(t) = 50\left(1 - e^{-\frac{t}{5}}\right) m/s. Одредите хоризонталну асимптоту графика за t→+∞t \to +\infty и објасните шта значи. Колика је брзина после 10 s?

Решење

  1. Кад t→+∞t \to +\infty, изложилац −t5→−∞-\frac{t}{5} \to -\infty, па e−t5→0e^{-\frac{t}{5}} \to 0.
  2. Зато је lim⁡t→+∞v(t)=50⋅(1−0)=50\lim_{t \to +\infty} v(t) = 50 \cdot (1 - 0) = 50, па је v=50v = 50 десна хоризонтална асимптота.
  3. Брзина расте ка 50 m/s, али је никад не достиже. То је гранична брзина, при којој би отпор ваздуха био једнак тежини падобранца.
  4. После 10 s: v(10)=50(1−e−2)≈50⋅0,865≈43,2v(10) = 50\left(1 - e^{-2}\right) \approx 50 \cdot 0{,}865 \approx 43{,}2 m/s.

Одговор: Хоризонтална асимптота је v=50v = 50: брзина се приближава граничној брзини од 50 m/s (180 km/h), а после 10 s износи око 43,2 m/s.

Задатак за вежбу

Одредите хоризонталне асимптоте функције f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}.

Прикажи решење

За x→+∞x \to +\infty је x2+1=x1+1x2\sqrt{x^2 + 1} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}, па f(x)→2f(x) \to 2. За x→−∞x \to -\infty је x2+1=−x1+1x2\sqrt{x^2 + 1} = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}, па f(x)→−2f(x) \to -2. Десна асимптота је y=2y = 2, а лева y=−2y = -2.