Неодређени интеграли 1

Интеграли. Примитивна функција. Таблица интеграла. Особине интеграла. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити

Пр.1) $\int {{x^3}dx}$

Пр.2) $\int {{x^{ - 7}}dx}$

Пр.3) $\int {\sqrt x } dx$

Пр.4) $\int {x\sqrt[3]{x}} dx$

Пр.5) $\int {\frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^5}}}}}} dx$

Пр.6) $\int {2{x^5}dx}$

Пр.7) $\int {\frac{{2dx}}{{3{x^5}}}}$

Пр.8) $\int {\frac{{\ln 8dx}}{x}}$

Пр.1) $\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + c = \frac{{{x^4}}}{4} + c$

Пр.2) $\int {{x^{ - 7}}dx} = \frac{{{x^{ - 7 + 1}}}}{{ - 7 + 1}} + c = \frac{{{x^{ - 6}}}}{{ - 6}} + c$

Пр.3) $\int {\sqrt x } dx = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + c = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + c = \frac{{2\sqrt {{x^3}} }}{3} + c$

Пр.4) $\int {x\sqrt[3]{x}} dx = \int {x \cdot {x^{\frac{1}{3}}}} dx = \int {{x^{1 + \frac{1}{3}}}} dx = \int {{x^{\frac{4}{3}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{4}{3} + 1}}}}{{\frac{4}{3} + 1}} + c = \frac{{{x^{\frac{7}{3}}}}}{{\frac{7}{3}}} + c = \frac{{3\sqrt[3]{{{x^7}}}}}{7} + c$

Пр.5) $\int {\frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^5}}}}}} dx = \int {\frac{x}{{{x^{\frac{5}{3}}}}}} dx = \int {{x^{1 - \frac{5}{3}}}} dx = \int {{x^{ - \frac{2}{3}}}} dx = \frac{{{x^{ - \frac{2}{3} + 1}}}}{{ - \frac{2}{3} + 1}} + c = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{{\frac{1}{3}}} + c = 3\sqrt[3]{x} + c$

Пр.6) $\int {2{x^5}dx} = 2\int {{x^5}dx} = 2 \cdot \frac{{{x^{5 + 1}}}}{{5 + 1}} + c = 2 \cdot \frac{{{x^6}}}{6} + c = \frac{{{x^6}}}{3} + c$

Пр.7) $\int {\frac{{2dx}}{{3{x^5}}}} = \frac{2}{3}\int {\frac{{dx}}{{{x^5}}}} = \frac{2}{3}\int {{x^{ - 5}}dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{x^{ - 4}}}}{{ - 4}} + c = - \frac{1}{{6{x^4}}} + c$

Пр.8) $\int {\frac{{\ln 8dx}}{x}} = \ln 8\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln 8 \cdot \ln \left| x \right| + c$

Интеграција је обрнута од извођења: запис $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ значи да је $F'(x) = f(x)$ , а $C$ је произвољна константа. Основно правило за степене је $\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ за $n \ne -1$ : изложилац повећате за један и истим бројем поделите. За $n = -1$ то правило не важи, па се користи посебна формула $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ . Корене и разломке прво запишите као степене, на пример $\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ . Константа излази испред интеграла, а број попут $\ln 8$ је такође само константа.

Резултат увек проверите извођењем и не заборавите константу $C$ , јер без ње решење није потпуно.

Висина саднице C1 m

Време9 год.

Висина H(t): 10 m
Нагиб тангенте: 1,5 m/год.
v(t) = 0,5√t: 1,5 m/год.

Нагиб тангенте на график висине у сваком тренутку једнак је брзини

v(t) = 0{,}5\sqrt{t}

. Константа

C

, висина саднице, само подиже или спушта график, а нагиби остају исти.

Кад је позната брзина неке промене, интеграл враћа саму величину: шумари из брзине раста дрвета добијају његову висину, хидролози из протока количину воде, а инжењери из брзине пређени пут.

Раст тополе

Млада топола засађена је као садница висока 1 m. У упрошћеном моделу расте брзином $v(t) = 0{,}5\sqrt{t}$ метара годишње, где је $t$ број година од садње. Одредите висину тополе $H(t)$ и израчунајте колико је висока после 9 година.

Решење

Висина је примитивна функција брзине: $H(t) = \int 0{,}5t^{\frac{1}{2}}\,dt$ .
Изложилац повећамо за један и тим бројем поделимо: $H(t) = 0{,}5 \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{t\sqrt{t}}{3} + C$ .
Почетни услов $H(0) = 1$ даје $C = 1$ , па је $H(t) = \frac{t\sqrt{t}}{3} + 1$ .
После 9 година: $H(9) = \frac{9 \cdot 3}{3} + 1 = 10$ m. Провера: $H'(t) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}} = 0{,}5\sqrt{t}$ .

Одговор: Висина тополе је $H(t) = \frac{t\sqrt{t}}{3} + 1$ метара, а после 9 година износи 10 m.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{x^2}{\sqrt{x}}\,dx$ и $\int \frac{4}{x^3}\,dx$ .

Прикажи решење

$\int x^{\frac{3}{2}}\,dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$ и $\int 4x^{-3}\,dx = 4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{2}{x^2} + C$ .