Неодређени интеграли – метода смене 3

Интеграли. Особине интеграла. Метода смене. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.10) Решити $\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \sin \frac{1}{x}dx$

Пр.11) $\int {{{\sin }^6}} x\cos xdx$

Пр.12) $\int {\frac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{\cos x}}}}} dx$

Пр.13) $\int {tgxdx}$

Пр.14) $\int {{{\cos }^5}} x \cdot {\sin ^3}xdx$

Кад подинтегрална функција садржи степен синуса помножен са $\cos x$ , уводимо $t = \sin x$ , јер је $dt = \cos x\,dx$ . Тако је $\int \sin^n x\cos x\,dx = \frac{\sin^{n + 1}x}{n + 1} + C$ . Уз степене косинуса и $\sin x\,dx$ смена је $t = \cos x$ , али тада је $dt = -\sin x\,dx$ , па се појављује минус: $\int \operatorname{tg} x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C$ . Исто се ради кад је косинус под кореном у имениоцу; тада се добија степен чији је изложилац разломак. Смена успева и са другим унутрашњим функцијама: у $\int \frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}\,dx$ је $t = \frac{1}{x}$ и $dt = -\frac{dx}{x^2}$ .

Пре смене погледајте шта стоји уз $dx$ : ако је то $\cos x$ , смена је $t = \sin x$ , а ако је $\sin x$ , смена је $t = \cos x$ . После интеграције вратите смену, јер резултат мора бити функција од $x$ . Најчешћа грешка је изгубљен минус у $dt = -\sin x\,dx$ .

Степен n1

Тачка x₀1

f(x₀) = sinⁿ x₀ · cos x₀: 0,455
Нагиб тангенте на F: 0,455

Плава крива је

F(x) = \frac{\sin^{n + 1}x}{n + 1}

, а зелена подинтегрална функција

f(x) = \sin^n x\cos x

. Где је

f

позитивна,

F

расте, а нагиб тангенте на

F

увек је једнак

f(x_0)

. За

n = 1

добијате облик енергије кондензатора из примера.

Овакви интеграли јављају се у електротехници: снага коју кондензатор или калем у мрежи наизменичне струје наизменично прима и враћа производ је синуса и косинуса, а енергија је њен интеграл.

Кондензатор у мрежи

Кондензатор је прикључен на мрежу од 50 Hz. Напон на њему је $u = 300\sin(100\pi t)$ V, а струја $i = 2\cos(100\pi t)$ A, где је $t$ у секундама. Снага коју прима је $p = ui = 600\sin(100\pi t)\cos(100\pi t)$ W, а енергија у кондензатору $E(t)$ је примитивна функција снаге, са $E(0) = 0$ . Одредите $E(t)$ и највећу енергију у кондензатору.

Решење

$E(t) = \int 600\sin(100\pi t)\cos(100\pi t)\,dt$ . Уз синус стоји косинус, па уводимо $s = \sin(100\pi t)$ .
Тада је $ds = 100\pi\cos(100\pi t)\,dt$ , дакле $\cos(100\pi t)\,dt = \frac{ds}{100\pi}$ .
$E = \frac{600}{100\pi}\int s\,ds = \frac{6}{\pi} \cdot \frac{s^2}{2} + C = \frac{3}{\pi}\sin^2(100\pi t) + C$ .
Из $E(0) = 0$ следи $C = 0$ . Највећа вредност $\sin^2$ је 1, па је највећа енергија $\frac{3}{\pi} \approx 0{,}95$ J, први пут кад је $100\pi t = \frac{\pi}{2}$ , у $t = 0{,}005$ s.

Одговор: Енергија у кондензатору је $E(t) = \frac{3}{\pi}\sin^2(100\pi t)$ J; највише, око 0,95 J, има сваких 0,01 s, први пут после 0,005 s.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{\cos x}{\sin^3 x}\,dx$ .

Прикажи решење

Смена $t = \sin x$ , $dt = \cos x\,dx$ : $\int t^{-3}\,dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2\sin^2 x} + C$ .