Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – извод функције 1

Извод функције по дефиницији. Једноставни примери.

Задаци

Текстови задатака објашњених у видео лекцији.

По дефиницији одредити изводе функција:

пр.1)   f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1
пр.2)   f(x)=x3−5x2+4x−1f(x) = {x^3} - 5{x^2} + 4x - 1
пр.3)   f(x)=2−3xx+1f(x) = \frac{{2 - 3x}}{{x + 1}}

пр.1)   f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1

f′(x) =lim⁡Δx→0f(x+Δx) - f(x) Δxf'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right){\text{ - }}f\left( x \right){\text{ }}}}{{\Delta x}}

f(x+Δx)=3⋅(x+Δx)−1f\left( {x + \Delta x} \right) = 3 \cdot \left( {x + \Delta x} \right) - 1

f′(x) =lim⁡Δx→03⋅(x+Δx)−1−(3x − 1)Δx=lim⁡Δx→03x+3Δx−1−3x+1Δx=f'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3 \cdot \left( {x + \Delta x} \right) - 1 - \left( {3x{\text{ }} - {\text{ }}1} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3x + 3\Delta x - 1 - 3x + 1}}{{\Delta x}} =

=lim⁡Δx→03ΔxΔx=3= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3\Delta x}}{{\Delta x}} = 3


пр.2)   f(x)=x3−5x2+4x−1f(x) = {x^3} - 5{x^2} + 4x - 1

f′(x) =lim⁡Δx→0f(x+Δx) - f(x) Δxf'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right){\text{ - }}f\left( x \right){\text{ }}}}{{\Delta x}}

f(x+Δx)=(x+Δx)3−5(x+Δx)2+4(x+Δx)−1=f\left( {x + \Delta x} \right) = {\left( {x + \Delta x} \right)^3} - 5{\left( {x + \Delta x} \right)^2} + 4\left( {x + \Delta x} \right) - 1 =

=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3−5x2−10xΔx−5Δx+4x2+4Δx−1= {x^3} + 3{x^2}\Delta x + 3x{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} - 5{x^2} - 10x\Delta x - 5\Delta x + 4{x^2} + 4\Delta x - 1

f′(x) =lim⁡Δx→0x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3−5x2−10xΔx−5Δx+4x2+4Δx−1−(x3−5x2+4x−1)Δx=f'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{x^3} + 3{x^2}\Delta x + 3x{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + {{\left( {\Delta x} \right)}^3} - 5{x^2} - 10x\Delta x - 5\Delta x + 4{x^2} + 4\Delta x - 1 - \left( {{x^3} - 5{x^2} + 4x - 1} \right)}}{{\Delta x}} =

=lim⁡Δx→0Δx(3x2+3xΔx+Δx−10x−5Δx+4)Δx=3x2−10x+4= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x\left( {3{x^2} + 3x\Delta x + \Delta x - 10x - 5\Delta x + 4} \right)}}{{\Delta x}} = 3{x^2} - 10x + 4


пр.3)   f(x)=2−3xx+1f(x) = \frac{{2 - 3x}}{{x + 1}}

f′(x) =lim⁡Δx→0f(x+Δx) - f(x) Δxf'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right){\text{ - }}f\left( x \right){\text{ }}}}{{\Delta x}}

f(x+Δx)=2−3(x+Δx)(x+Δx)+1f\left( {x + \Delta x} \right) = \frac{{2 - 3\left( {x + \Delta x} \right)}}{{\left( {x + \Delta x} \right) + 1}}

f′(x) =lim⁡Δx→0f(x+Δx) - f(x) Δx=lim⁡Δx→02−3(x+Δx)x+Δx+1−2−3xx+1Δx=f'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right){\text{ - }}f\left( x \right){\text{ }}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{{2 - 3\left( {x + \Delta x} \right)}}{{x + \Delta x + 1}} - \frac{{2 - 3x}}{{x + 1}}}}{{\Delta x}} =

=lim⁡Δx→0(2−3(x+Δx))(x+1)−(2−3x)(x+Δx+1)(x+Δx+1)(x+1)Δx1== \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{{\left( {2 - 3\left( {x + \Delta x} \right)} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2 - 3x} \right)\left( {x + \Delta x + 1} \right)}}{{\left( {x + \Delta x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}}}{{\frac{{\Delta x}}{1}}} =

=lim⁡Δx→0(2−3(x+Δx))(x+1)−(2−3x)(x+Δx+1)(x+Δx+1)(x+1)Δx== \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2 - 3\left( {x + \Delta x} \right)} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2 - 3x} \right)\left( {x + \Delta x + 1} \right)}}{{\left( {x + \Delta x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\Delta x}} =

=lim⁡Δx→02x−3x2−3xΔx+2−3x−3Δx−2x−2Δx−2+3x2+3xΔx+3x(x+Δx+1)(x+1)Δx== \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2x - 3{x^2} - 3x\Delta x + 2 - 3x - 3\Delta x - 2x - 2\Delta x - 2 + 3{x^2} + 3x\Delta x + 3x}}{{\left( {x + \Delta x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\Delta x}} =

=−5(x+1)2= \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}

Извод функције ff по дефиницији је гранична вредност количника прираштаја функције и прираштаја аргумента: f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}. Рачуна се у четири корака. Прво напишете f(x+Δx)f(x + \Delta x), затим од тога одузмете f(x)f(x), поделите са Δx\Delta x и тек на крају пустите да Δx\Delta x тежи нули. Код полинома се после развијања сви чланови без Δx\Delta x потру, а преостали имају заједнички чинилац Δx\Delta x који се скрати: (x+Δx)2−x2Δx=2x+Δx→2x\frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x \to 2x. Код разломка разлику f(x+Δx)−f(x)f(x + \Delta x) - f(x) прво сведите на заједнички именилац.

Честа грешка је да се Δx=0\Delta x = 0 уврсти пре скраћивања: тада се добија неодређени израз 00\frac{0}{0}, а не извод.

0,511,522,53123456t (s)s (m)AB
3 s
Прираштај Δt
1 s
Просечна брзина (нагиб AB)
2,3 m/s
Брзина s′(2)
1,9 m/s
Нагиб сечице ABAB је просечна брзина 1,9+0,4Δt1{,}9 + 0{,}4\Delta t. Што је Δt\Delta t мање, то је ближа броју 1,9 m/s, брзини у тренутку t=2t = 2 s, а сечица прилази тангенти.

Брзиномер, GPS сат и уређаји за праћење возила рачунају брзину као однос пређеног пута и врло кратког времена, што је управо количник прираштаја из дефиниције извода.

Куглица на косини

На часу физике куглица се котрља низ дугачку косу даску. Мерењем је утврђено да после tt секунди пређе s(t)=0,4t2+0,3ts(t) = 0{,}4t^2 + 0{,}3t метара. По дефиницији извода одредите њену брзину s′(t)s'(t) и израчунајте брзину после 2 секунде.

Решење

  1. Пут у тренутку t+Δtt + \Delta t је s(t+Δt)=0,4(t+Δt)2+0,3(t+Δt)s(t + \Delta t) = 0{,}4(t + \Delta t)^2 + 0{,}3(t + \Delta t).
  2. Прираштај пута је s(t+Δt)−s(t)=0,8tΔt+0,4(Δt)2+0,3Δts(t + \Delta t) - s(t) = 0{,}8t\Delta t + 0{,}4(\Delta t)^2 + 0{,}3\Delta t: чланови без Δt\Delta t су се потрли.
  3. Делимо са Δt\Delta t: s(t+Δt)−s(t)Δt=0,8t+0,4Δt+0,3\frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} = 0{,}8t + 0{,}4\Delta t + 0{,}3. То је просечна брзина између тренутака tt и t+Δtt + \Delta t.
  4. Кад Δt→0\Delta t \to 0, остаје s′(t)=0,8t+0,3s'(t) = 0{,}8t + 0{,}3, па је s′(2)=1,6+0,3=1,9s'(2) = 1{,}6 + 0{,}3 = 1{,}9.

Одговор: Брзина куглице је s′(t)=0,8t+0,3s'(t) = 0{,}8t + 0{,}3 m/s, а после 2 s износи 1,9 m/s.

Задатак за вежбу

По дефиницији одредите извод функције f(x)=3x+2f(x) = \frac{3}{x + 2}.

Прикажи решење

f(x+Δx)−f(x)=3x+Δx+2−3x+2=−3Δx(x+Δx+2)(x+2)f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{3}{x + \Delta x + 2} - \frac{3}{x + 2} = \frac{-3\Delta x}{(x + \Delta x + 2)(x + 2)}. После дељења са Δx\Delta x и преласка на граничну вредност добија се f′(x)=−3(x+2)2f'(x) = -\frac{3}{(x + 2)^2}.