Функције – нуле функције 1

Функције. Нуле функције. Одређивање домена и нула функције на једноставним примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити нуле функције:

пр.1) $y={x^3}-7{x^2} +10x$

пр.2) $y= \frac{{{x^2}-4x + 4}}{{{x^2} - 1}}$

пр.3) $y= \frac{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }{{x - 1}}$

пр.1) $y={x^3}-7{x^2} +10x$

$Df:\mathbb{R}$

нуле: $y = 0$

${x^3} - 7{x^2} + 10x = 0$

$x\left( {{x^2} - 7x + 10} \right) = 0$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 0}& \cup &{{x^2} - 7x + 10 = 0} \\ {}&{}&{{x_{1,2}} = \frac{{7 \pm \sqrt {49 - 40} }}{2}} \\ {}&{}&{{x_{1,2}} = \frac{{7 \pm 3}}{2}} \\ {}&{}&{\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} = 5}&{{x_2} = 2} \end{array}} \end{array}$

пр.2) $y= \frac{{{x^2}-4x + 4}}{{{x^2} - 1}}$

$\begin{aligned}&Df:{x^2} - 1 \ne 0 \\ &{x^2} \ne 1 \\ &x \ne \pm 1 \\ &Df:\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\} \\ & \\ &y = 0 \\ &\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 1}} = 0 \\ &{x^2} - 4x + 4 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{4 \pm \sqrt {16 - 16} }}{2} \\ &x = 2\end{aligned}$

пр.3) $y= \frac{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }{{x - 1}}$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {Df:}&{x - 1 \ne 0}& \cap &{{x^2} - 4x + 3 \geqslant 0} \\ {}&{x \ne 1}&{}&{{x^2} - 4x + 3 = 0} \\ {}&{}&{}&{{x_{1,2}} = \frac{{4 \pm \sqrt {16 - 12} }}{2}} \\ {}&{}&{}&{\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} = 1}&{{x_2} = 3} \end{array}} \end{array}$

424 png

$\begin{aligned}&x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right) \\ & \\ &Df:x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)\end{aligned}$

нуле: $y = 0$

$\begin{aligned}&\frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{x - 1}} = 0 \\ &\sqrt {{x^2} - 4x + 3} = 0 \\ &{x^2} - 4x + 3 = 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} = 1}&{{x_2} = 3} \end{array}\end{aligned}$

Нуле функције су вредности $x$ за које је $f(x) = 0$ : у њима график сече или додирује осу $x$ . Прво одредите домен, па решите једначину $f(x) = 0$ . Код полинома издвојите заједнички чинилац: из $x^3 - 7x^2 + 10x = x(x^2 - 7x + 10)$ добијате нуле $0$ , $2$ и $5$ . Разломак је нула кад му је бројилац нула, а именилац није.

Свако решење проверите у домену. Код $\frac{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}{x - 1}$ бројилац је нула за $x = 1$ и $x = 3$ , али $x = 1$ није у домену, па је једина нула $x = 3$ . Ово је и најчешћа грешка: заборави се да нула мора припадати домену.

Фиксни трошак F8000 дин.

Прва нула x₁: 40
Друга нула x₂: 100
Највећа добит: 1800 дин.

Нуле су тачке у којима парабола сече осу

x

. Кад повећавате фиксни трошак

F

, парабола се спушта, а нуле се приближавају једна другој. За

F = 9800

динара остаје само једна нула, у темену, а за још већи трошак нула не би било: штанд би увек био на губитку.

Нуле функције која описује добит су тачке рентабилности: број продатих производа при ком приход тачно покрива трошкове. Нула функције висине исто тако показује кад лопта или пројектил падну на тло.

Штанд са куваним кукурузом

Власник штанда на Штранду у Новом Саду процењује да је његова дневна добит $P(x) = -2x^2 + 280x - 8000$ динара кад прода $x$ клипова кукуруза (да би продао више, мора да спусти цену). Одредите нуле функције $P$ и колико клипова треба да прода да не би био на губитку.

Решење

Нуле су решења једначине $-2x^2 + 280x - 8000 = 0$ . Делимо је са $-2$ : $x^2 - 140x + 4000 = 0$ .
Дискриминанта је $D = 140^2 - 4 \cdot 4000 = 19\,600 - 16\,000 = 3600$ , а $\sqrt{D} = 60$ .
$x_{1,2} = \frac{140 \pm 60}{2}$ , па је $x_1 = 40$ и $x_2 = 100$ . Оба решења припадају домену $x \geqslant 0$ .
Парабола је окренута наниже, јер је $a = -2 < 0$ , па је добит позитивна између нула, а негативна за мање од 40 и више од 100 клипова.

Одговор: Нуле су $x = 40$ и $x = 100$ : власник није на губитку кад прода између 40 и 100 клипова.

Задатак за вежбу

Одредите нуле функције $f(x) = \frac{x^3 - 4x}{x + 2}$ .

Прикажи решење

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ . Бројилац $x(x - 2)(x + 2)$ је нула за $x = 0$ , $x = 2$ и $x = -2$ , али $-2$ није у домену, па су нуле $x = 0$ и $x = 2$ .