Четврти разред средње школе

Функције - извод имплицитне функције 1

Извод имплицитно задате функције. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Одредити извод функције:

            $6{x^2} - 4y = 0$

Пр.2)   $2{x^2} - 3{y^2} + 6 = 0$

Пр.3)   $3{x^2} + xy - 2{y^2} + 7 = 0$

Пр.4)   ${e^x} + xy + {e^y} - 13 = 0$

Пр.6)   $\ln \left( {xy} \right) + {x^2} + {y^2} - 13 = 0$

 

Пр.1)  $6{x^2} - 4y = 0$

У имплицитном облику

\[\begin{gathered}
6{x^2} - 4y = 0 \hfill \\
12x - 4y' = 0 \hfill \\
4y' = 12x \hfill \\
y' = 3x \hfill \\
\end{gathered} \]

проверим: прво запишећемо у експлицитни облик и затим одредићемо извод функције

\[\begin{gathered}
4y = 6{x^2} \hfill \\
y = \frac{3}{2}{x^2} \hfill \\
y' = \frac{3}{2} \cdot 2x \hfill \\
y' = 3x \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   $2{x^2} - 3{y^2} + 6 = 0$

\[\begin{gathered}
2{x^2} - 3{y^2} + 6 = 0 \hfill \\
4x - 6y \cdot y' + 0 = 0 \hfill \\
6y \cdot y' = 4x \hfill \\
y' = \frac{{4x}}{{6y}} \hfill \\
y' = \frac{{2x}}{{3y}} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)   $3{x^2} + xy - 2{y^2} + 7 = 0$

\[\begin{gathered}
3{x^2} + xy - 2{y^2} + 7 = 0 \hfill \\
6x + 1y + xy' - 4yy' = 0 \hfill \\
y'\left( {x - 4y} \right) = - 6x - y \hfill \\
y' = \frac{{ - 6x - y}}{{x - 4y}} \hfill \\
y' = \frac{{ - \left( {6x + y} \right)}}{{ - \left( {4y - x} \right)}} \hfill \\
y' = \frac{{6x + y}}{{4y - x}} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   ${e^x} + xy + {e^y} - 13 = 0$

\[\begin{gathered}
{e^x} + xy + {e^y} - 13 = 0 \hfill \\
{e^x} + y + xy' + {e^y}y' = 0 \hfill \\
y'\left( {x + {e^y}} \right) = - {e^x} - y \hfill \\
y' = \frac{{ - {e^x} - y}}{{x + {e^y}}} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.6)   $\ln \left( {xy} \right) + {x^2} + {y^2} - 13 = 0$

\[\begin{gathered}
\ln \left( {xy} \right) + {x^2} + {y^2} - 13 = 0 \hfill \\
\frac{1}{{xy}} \cdot \left( {y + xy'} \right) + 2x + 2yy' = 0 \hfill \\
\frac{y}{{xy}} + \frac{{xy'}}{{xy}} + 2x + 2yy' = 0;x \ne 0,y \ne 0 \hfill \\
\frac{1}{x} + \frac{{y'}}{y} + 2x + 2yy' = 0 \hfill \\
y'\left( {\frac{1}{y} + 2y} \right) + \frac{1}{y} + 2x = 0 \hfill \\
y' = - \frac{{\frac{1}{x} + 2x}}{{\frac{1}{y} + 2y}} \hfill \\
\end{gathered} \]