Четврти разред средње школе

Примена одређеног интеграла 6

Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање запремине обртних тела. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.6)   Израчунати запремину тела које настаје обртањем криве

            $y = 9x - {x^2}$ око $x$-осе.

           

          

$y = 9x - {x^2}$

$y = 0$

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{9x - {x^2} = 0} \\
{x\left( {9 - x} \right) = 0} \\
{\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
9 - x = 0 \hfill \\
x = 9 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}}
\end{array}\]

485 png

486 png

$V = \pi \int\limits_0^9 {{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^2}dx = } \pi \int\limits_0^9 {\left( {81{x^2} - 18{x^3} + {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {81\frac{{{x^3}}}{3} - 18\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^9 = $

$ = \pi \left( {27 \cdot {9^3} - \frac{9}{2} \cdot {9^4} + \frac{{{9^5}}}{5} - 0} \right) = \pi \left( {27 \cdot 729 - \frac{9}{2} \cdot 6561 + \frac{{59049}}{5}} \right) =$

$= \pi \left( {19683 - \frac{{59049}}{2} + \frac{{59049}}{5}} \right) = $

$ = \pi \frac{{196830 - 295245 + 118098}}{{10}} = \frac{{19683}}{{10}}\pi  = 1968,3\pi $