Подударност троуглова, значајне тачке троугла – понављање градива

Задаци које смо решили у видео лекцији:

1. Доказати да су правоугли троуглови подударни ако имају једнаке хипотенузе и по један оштар угао.

2. Доказати да су два једнакокрака троугла подударна, ако имају једнаке основице и углове при врху 40°.

3. Нека су тачке M и N средишта страница AB и CD правоугаоника ABCD. Доказати да је AN = CM.

4. Доказати да висина која одговара основици једнакокраког троугла дели тај троугао на два подударна троугла.

5. Висина која одговара хипотенузи правоуглог троугла дели тај прав угао на углове од 32° и 58°. Израчунати унутрашње углове тог троугла.

6. Израчунати унутрашње углове једнакокраког троугла, ако висина која одговара краку тог троугла гради угао од  40° са:   

             а) основицом троугла

             б) другим краком тог троугла

1.

\[\left. \begin{gathered}
c = {c_1} \hfill \\
\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1} \hfill \\
\measuredangle c = \measuredangle {c_1} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \vartriangle ABC \cong \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}\]

2. 

\[\begin{gathered}
\gamma = {\gamma _1} = {40^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha + {40^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {140^ \circ } \hfill \\
\alpha = {70^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
2{\alpha _1} + {40^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
2{\alpha _1} = {140^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {70^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\alpha = {\alpha _1} \hfill \\
\left. \begin{gathered}
a = {a_1} \hfill \\
\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1} \hfill \\
\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \vartriangle ABC \cong \vartriangle MNP \hfill \\
\end{gathered} \]

3.

\[\begin{gathered}
AB = CD \Rightarrow \frac{{AB}}{2} = \frac{{CD}}{2} \Rightarrow MB = DN \hfill \\
\left. \begin{gathered}
\measuredangle B = \measuredangle D\left( {{{90}^ \circ }} \right) \hfill \\
BC = AD \hfill \\
MB = DN \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \vartriangle AND = \vartriangle BCM \Rightarrow AN = CM \hfill \\
\end{gathered} \]

4.

\[\left. \begin{gathered}
\measuredangle ADC = \measuredangle CDB\left( {{{90}^ \circ }} \right) \hfill \\
AC = BC \hfill \\
CD = CD \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \vartriangle ADC = \vartriangle BCD\]

5.

\[\begin{gathered}
\vartriangle ADC \hfill \\
\alpha + {90^ \circ } + {58^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + {148^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {148^ \circ } \hfill \\
\alpha = {32^ \circ } \hfill \\
\alpha + \beta = {90^ \circ } \hfill \\
{32^ \circ } + \beta = {90^ \circ } \hfill \\
\beta = {90^ \circ } - {32^ \circ } \hfill \\
\beta = {58^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

6.

\[\begin{gathered}
\vartriangle ADB \hfill \\
\alpha + {90^ \circ } + {40^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + {130^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {130^ \circ } \hfill \\
\alpha = {50^ \circ } \hfill \\
\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
{50^ \circ } + {50^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma = {180^ \circ } - {100^ \circ } \hfill \\
\gamma = {80^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
\vartriangle ADC \hfill \\
\gamma + {90^ \circ } + {40^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma + {130^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma = {180^ \circ } - {130^ \circ } \hfill \\
\gamma = {50^ \circ } \hfill \\
\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha + {50^ \circ } + = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {180^ \circ } - {50^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {130^ \circ } \hfill \\
\alpha = {75^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]