Бројеви у децималном запису

Дефиниције, особине, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Дате периодичне децималне бројеве написати у облику

разломака:

а) 0,1111... б) 2,4545... в) -0,16666... г) -1,888...

д) 2,416666... ђ) -3,5333...

Пр.1)

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 0,111...}&{}&{x = 2,4545...}&{}&{} \\ {10x = 1,11...}&{}&{100x = 245,4...}&{}&{} \\ {10x - x = 1,111... - 0,111...}&{}&{100x - x = 245,4... - 2,4545...}&{}&{} \\ {9x = 1}&{}&{99x = 243}&{}&{} \\ {x = \frac{1}{9}}&{}&{x = \frac{{243}}{{99}} = \frac{{27}}{{11}} = 2\frac{5}{{11}}}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{} \end{array}$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&x = - 0,1666... \\ &10x = - 1,66... \\ &10x - x = - 1,66... + 0,166... \\ &9x = - 1,5 \\ &x = - \frac{{1,5}}{9} \\ &x = - \frac{3}{{18}} \\ &x = - \frac{1}{6}\end{aligned} &{}&{}&\begin{aligned}&x = - 1,888... \\ &10x = - 18,888... \\ &10x - x = - 18,888... + 1,888... \\ &9x = - 17 \\ &x = - \frac{{17}}{9} \\ &x = - 1\frac{8}{9}\end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&x = 2,41666... \\ &10x = 24,166... \\ &10x - x = 24,166... - 2,4166... \\ &9x = 21,75 \\ &x = \frac{{21,75}}{9} \\ &x = \frac{{87}}{{36}} \\ &x = \frac{{29}}{{12}} \\ &x = 2\frac{5}{{12}}\end{aligned} &{}&{}&\begin{aligned}&x = - 3,5333... \\ &10x = - 35,333... \\ &10x - x = - 35,333... + 3,533... \\ &9x = - 31,8 \\ &x = - \frac{{31,8}}{9} \\ &x = - \frac{{159}}{{45}} \\ &x = - \frac{{53}}{{15}} \\ &x = - 3\frac{8}{{15}}\end{aligned} \end{array}$

Сваки рационалан број има коначан или бесконачан периодичан децимални запис: $\frac{3}{8} = 0{,}375$ , а $\frac{4}{11} = 0{,}3636\ldots = 0{,}\dot{3}\dot{6}$ . Запис је коначан кад скраћени именилац има само просте чиниоце 2 и 5.

Периодичан број у разломак претварате овако. Обележите га са $x$ и помножите са 10, 100 или 1000, тако да се цео период помери испред запете. Од тога одузмите $x$ и бесконачни делови се пониште: за $x = 0{,}777\ldots$ је $10x = 7{,}777\ldots$ , па је $9x = 7$ и $x = \frac{7}{9}$ . Ако период не почиње одмах иза запете, као код $0{,}8333\ldots$ , одузмите два производа, на пример $100x - 10x$ . На крају скратите разломак.

Бројилац n5

Именилац d12

n : d: 0,416667
Скраћени именилац: 12

Ако скраћени именилац има само чиниоце 2 и 5 (на пример 4, 5, 8 или 10), децимале се завршавају. Ако је скраћени именилац 6, 7, 9, 11 или 12, исте цифре се понављају: са

n = 5

и

d = 12

добијате

0{,}416667

, децимале Марковог просека

4\frac{5}{12}

из примера.

Калкулатор показује само ограничен број децимала, па периодичан резултат дељења, као $4{,}4166667$ , бива заокружен. Кад препознате разломак, можете да рачунате тачно, без грешке од заокруживања.

Просек оцена

Марко из Краљева има 12 закључених оцена. Калкулатор у телефону за његов просек показује $4{,}4166667$ , а то је заокружен периодичан број $4{,}41666\ldots$ Претворите просек у разломак и одредите збир Маркових оцена. За одличан успех потребан је просек најмање 4,5: колико Марку недостаје?

Решење

Нека је $x = 4{,}41666\ldots$ Период 6 почиње тек на трећој децимали.
Помножимо: $100x = 441{,}666\ldots$ и $1000x = 4416{,}666\ldots$
Одузмемо: $1000x - 100x = 4416{,}666\ldots - 441{,}666\ldots$ , па је $900x = 3975$ .
$x = \frac{3975}{900} = \frac{53}{12}$ , кад скратимо са 75. Просек 12 оцена је $\frac{53}{12}$ , па је њихов збир 53.
За просек 4,5 збир 12 оцена мора бити $4{,}5 \cdot 12 = 54$ . У збиру недостаје $54 - 53 = 1$ .

Одговор: Просек је $\frac{53}{12} = 4\frac{5}{12}$ , а збир оцена 53. За одличан успех довољно је да једна оцена буде за 1 већа.

Задатак за вежбу

Напишите у облику разломка $0{,}2727\ldots$ и $-1{,}4666\ldots$ .

Прикажи решење

За $x = 0{,}2727\ldots$ : $100x - x = 27$ , па је $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ . За $y = 1{,}4666\ldots$ : $100y - 10y = 146{,}66\ldots - 14{,}66\ldots = 132$ , па је $y = \frac{132}{90} = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$ . Тражени број је $-1\frac{7}{15}$ .