Подударност троуглова, значајне тачке троугла – понављање градива

Решени задаци, припрема за контролни задатак.

Задаци

Задаци које смо решили у видео лекцији:

1. Доказати да су правоугли троуглови подударни ако имају једнаке хипотенузе и по један оштар угао.

2. Доказати да су два једнакокрака троугла подударна, ако имају једнаке основице и углове при врху 40°.

3. Нека су тачке M и N средишта страница AB и CD правоугаоника ABCD. Доказати да је AN = CM.

4. Доказати да висина која одговара основици једнакокраког троугла дели тај троугао на два подударна троугла.

5. Висина која одговара хипотенузи правоуглог троугла дели тај прав угао на углове од 32° и 58°. Израчунати унутрашње углове тог троугла.

6. Израчунати унутрашње углове једнакокраког троугла, ако висина која одговара краку тог троугла гради угао од 40° са:

а) основицом троугла

б) другим краком тог троугла

1.

582 png

$\left. \begin{aligned}&c = {c_1} \\ &\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1} \\ &\measuredangle c = \measuredangle {c_1}\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ABC \cong \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$

2.

583 png

$\begin{aligned}&\gamma = {\gamma _1} = {40^ \circ } \\ & \\ &\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \\ &2\alpha + {40^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2\alpha = {140^ \circ } \\ &\alpha = {70^ \circ } \\ & \\ &\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \\ &2{\alpha _1} + {40^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2{\alpha _1} = {140^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {70^ \circ } \\ & \\ &\alpha = {\alpha _1} \\ &\left. \begin{aligned}&a = {a_1} \\ &\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1} \\ &\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1}\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ABC \cong \vartriangle MNP\end{aligned}$

3.

584 png

$\begin{aligned}&AB = CD \Rightarrow \frac{{AB}}{2} = \frac{{CD}}{2} \Rightarrow MB = DN \\ &\left. \begin{aligned}&\measuredangle B = \measuredangle D\left( {{{90}^ \circ }} \right) \\ &BC = AD \\ &MB = DN\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle AND = \vartriangle BCM \Rightarrow AN = CM\end{aligned}$

4.

585 png

$\left. \begin{aligned}&\measuredangle ADC = \measuredangle CDB\left( {{{90}^ \circ }} \right) \\ &AC = BC \\ &CD = CD\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ADC = \vartriangle BCD$

5.

586 png

$\begin{aligned}&\vartriangle ADC \\ &\alpha + {90^ \circ } + {58^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha + {148^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {148^ \circ } \\ &\alpha = {32^ \circ } \\ &\alpha + \beta = {90^ \circ } \\ &{32^ \circ } + \beta = {90^ \circ } \\ &\beta = {90^ \circ } - {32^ \circ } \\ &\beta = {58^ \circ }\end{aligned}$

6.

587 png

$\begin{aligned}&\vartriangle ADB \\ &\alpha + {90^ \circ } + {40^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha + {130^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {130^ \circ } \\ &\alpha = {50^ \circ } \\ &\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \\ &{50^ \circ } + {50^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \\ &\gamma = {180^ \circ } - {100^ \circ } \\ &\gamma = {80^ \circ }\end{aligned}$

588 png

$\begin{aligned}&\vartriangle ADC \\ &\gamma + {90^ \circ } + {40^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\gamma + {130^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\gamma = {180^ \circ } - {130^ \circ } \\ &\gamma = {50^ \circ } \\ &\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \\ &2\alpha + {50^ \circ } + = {180^ \circ } \\ &2\alpha = {180^ \circ } - {50^ \circ } \\ &2\alpha = {130^ \circ } \\ &\alpha = {75^ \circ }\end{aligned}$

Ово понављање спаја подударност и значајне тачке. У доказу изаберите два троугла, нађите три пара једнаких елемената и наведите став: ССС, СУС, УСУ или ССУ. Корисно је знати да су правоугли троуглови подударни ако имају једнаке хипотенузе и по један оштар угао, а да висина на основицу дели једнакокраки троугао на два подударна правоугла троугла.

У задацима са угловима висина прави правоугле троуглове, у којима оштри углови заједно дају $90^\circ$ . Висина на хипотенузу дели прав угао на два дела: део уз катету $a$ једнак је углу $\alpha$ , а део уз катету $b$ углу $\beta$ . Пре рачуна обележите на слици сваки прав угао.

Угао α36°

β: 54°
∡ACD: 54°
∡BCD: 36°

Угао код

C

остаје прав: теме

C

клизи по кружници чији је центар средиште хипотенузе

AB

. Висина

CD

дели прав угао на два дела:

\measuredangle BCD

је увек једнак углу

\alpha

, а

\measuredangle ACD

углу

\beta

. На почетку су то углови из задатка за вежбу.

Подударност гарантује да су делови направљени по истој мери исти: тако се у радионици проверава да ли две троугаоне заставице, плочице или делови оквира могу да замене један другог.

Две заставице за крос

За школски крос у Шапцу сашивене су две троугаоне заставице. Обе су једнакокраке, основица им је 24 cm, а угао при врху $36^\circ$ . Колики су углови на основици и да ли су заставице подударне?

Решење

Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки, па је $2\alpha + 36^\circ = 180^\circ$ .
$2\alpha = 144^\circ$ , па је $\alpha = 72^\circ$ .
Исти рачун важи и за другу заставицу: и њени углови на основици су по $72^\circ$ .
Заставице имају једнаке основице од 24 cm и једнаке углове на њима, па су подударне по ставу УСУ.

Одговор: Углови на основици су по $72^\circ$ , а заставице су подударне.

Задатак за вежбу

Висина $CD$ која одговара хипотенузи правоуглог троугла $ABC$ дели прав угао тако да је $\measuredangle ACD = 54^\circ$ и $\measuredangle BCD = 36^\circ$ . Израчунајте оштре углове троугла.

Прикажи решење

У троуглу $ADC$ : $\alpha = 180^\circ - 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$ . Онда је $\beta = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$ .