Појам рационалног броја

Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Задаци које смо решили у видео лекцији:

1. У празне квадратиће уписати $\in$ или $\notin$ тако да се добије тачно тврђење:

(а) $\frac{1}{2}\square {Q^ + }$ (б) $\frac{{ - 3}}{{ - 7}}\square {Q^ - }$ (в) $\frac{0}{{ - 12}}\square {Q^ + }$ (г) $- 6\frac{9}{{13}}\square Q$

2. У празне квадратиће уписати $\subset$ или $\not\subset$ тако да се добије тачно тврђење:

(а) $N\square {Q^ + }$ (б) $Z\square {Q^ - }$ (в) ${Z^ + }\square {Q^ + }$ (г) $Q\square {Q^ + }$

3. На бројевној правој приказати следеће тачке:

$A\left( { - \frac{1}{4}} \right),B\left( {\frac{3}{4}} \right),C\left( { - 2\frac{1}{2}} \right),D\left( { - 1,75} \right),E\left( {1,5} \right).$

1. У празне квадратиће уписати $\in$ или $\notin$ тако да се добије тачно тврђење:

(а) $\frac{1}{2} \in {Q^ + }$ (б) $\frac{{ - 3}}{{ - 7}} \notin {Q^ - }$ (в) $\frac{0}{{ - 12}} \notin {Q^ + }$ (г) $- 6\frac{9}{{13}} \in Q$

2. У празне квадратиће уписати $\subset$ или $\not\subset$ тако да се добије тачно тврђење:

(а) $N \subset {Q^ + }$ (б) $Z\not \subset {Q^ - }$ (в) ${Z^ + } \subset {Q^ + }$ (г) $Q\not \subset {Q^ + }$

3.

$A\left( { - \frac{1}{4}} \right),B\left( {\frac{3}{4}} \right),C\left( { - 2\frac{1}{2}} \right),D\left( { - 1,75} \right),E\left( {1,5} \right).$

589 png

Рационалан број је број који може да се запише као разломак $\frac{a}{b}$ , где је $a$ цео, а $b$ природан број. Скуп рационалних бројева обележава се са $Q$ . Сваки цео број је рационалан, јер је на пример $-5 = \frac{-5}{1}$ , па важи $N \subset Z \subset Q$ . Минус може да стоји испред разломка, у бројиоцу или у имениоцу: $-\frac{3}{4} = \frac{-3}{4} = \frac{3}{-4}$ , а $\frac{-2}{-9} = \frac{2}{9}$ је позитиван број.

Позитивни рационални бројеви чине скуп $Q^+$ , а негативни скуп $Q^-$ . Нула не припада ниједном од њих. Пазите на мешовите бројеве: $-2\frac{1}{2}$ је на бројевној правој лево од $-2$ , на пола пута до $-3$ .

Број x−1,25

x децимално: −1,25
Супротан број: 1,25

Сиве тачке су међувремена из примера: А, Б, В, Г и Д. Што је број више лево, то је мањи, па је Анино

-1\frac{3}{4}

најбоље. Померајте

x

и посматрајте разломак изнад тачке и њен децимални запис.

Рационални бројеви са знаком виде се у спортским преносима: међувреме скијаша или бициклисте исписује се као $-0{,}25$ s кад је бржи од водећег, а као $+1{,}5$ s кад је спорији.

Међувремена на трци

У преносу скијашке трке поред сваког такмичара пише колико је на међувремену бржи или спорији од водећег. Негативан број значи бржи, а позитиван спорији. Петоро скијаша има: Ана $-1\frac{3}{4}$ s, Бојан $+0{,}5$ s, Вук $-\frac{1}{4}$ s, Гага $+1\frac{1}{2}$ s и Дуња $-0{,}75$ s. Ко је бржи од водећег и ко је на међувремену најбржи?

Решење

Бржи од водећег су они чији је број у скупу $Q^-$ : Ана, Вук и Дуња.
Запишимо све бројеве децимално: $-1\frac{3}{4} = -1{,}75$ , $-\frac{1}{4} = -0{,}25$ и $1\frac{1}{2} = 1{,}5$ .
На бројевној правој, слева надесно: $-1{,}75 < -0{,}75 < -0{,}25 < 0{,}5 < 1{,}5$ .
Најмањи број је најлевље, па је најбоље међувреме Анино.

Одговор: Бржи од водећег су Ана, Вук и Дуња, а најбржа је Ана, 1,75 s испред водећег.

Задатак за вежбу

Који од бројева $\frac{-4}{-9}$ , $\frac{0}{5}$ , $-3\frac{1}{3}$ и $\frac{7}{-2}$ припадају скупу $Q^-$ ? Који је од њих најмањи?

Прикажи решење

У $Q^-$ су $-3\frac{1}{3}$ и $\frac{7}{-2} = -3\frac{1}{2}$ . Број $\frac{-4}{-9} = \frac{4}{9}$ је позитиван, а $\frac{0}{5} = 0$ није ни позитиван ни негативан. Најмањи је $-3\frac{1}{2}$ , јер је лево од $-3\frac{1}{3}$ .