Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Особине множења и дељења у скупу целих бројева

Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

1. Применом особина множења целих бројева израчунати:

а) 3 · (– 2)· 7 · (– 5) =

б) (– 25)· (+ 11) · (– 4) =

в) (– 30) · (– 5)· (+ 8) · (– 20) =

г) (+ 125) · (– 20)· (– 8) · (+ 4) =

2. Израчунати на два начина:

а) 7 · (– 21 + 16) =

б) (– 20)· 43 + 57 · (– 20) =

3. Израчунати на два начина:

а) (– 27 + 12) : 3 =

б) (– 20) : 5 + 75 : 5 =

4. Израчунати користећи дистрибутивни закон:

а) – 7· 43 – 12 · 7 + 7 · 10 =

б) – 76· 47 – 58 · 47 + 47 · 34 =

1. 

а) 3 · (– 2)· 7 · (– 5) =210

б) (– 25)· (+ 11) · (– 4) =1100

в) (– 30) · (– 5)· (+ 8) · (– 20) =-24000

г) (+ 125) · (– 20)· (– 8) · (+ 4) =80000

2. a)

7⋅(−21+16)=7⋅(−5)=−357⋅(−21+16)=7⋅(−21)+7⋅16=−147+112=−35\begin{aligned}&7 \cdot \left( { - 21 + 16} \right) = 7 \cdot \left( { - 5} \right) = - 35 \\ &7 \cdot \left( { - 21 + 16} \right) = 7 \cdot \left( { - 21} \right) + 7 \cdot 16 = - 147 + 112 = - 35\end{aligned}

б) 

(−20)⋅43+57⋅(−20)=−860−1140=−2000(−20)⋅43+57⋅(−20)=−20(43+57)=−20⋅100=−2000\begin{aligned}&\left( { - 20} \right) \cdot 43 + 57 \cdot \left( { - 20} \right) = - 860 - 1140 = - 2000 \\ &\left( { - 20} \right) \cdot 43 + 57 \cdot \left( { - 20} \right) = - 20\left( {43 + 57} \right) = - 20 \cdot 100 = - 2000\end{aligned}

3. Израчунати на два начина:

а) 

(−27+12):3=−15:3=−5(−27+12):3=(−27):3+12:3=−9+4=−5\begin{aligned}&\left( { - 27 + 12} \right):3 = - 15:3 = - 5 \\ &\left( { - 27 + 12} \right):3 = \left( { - 27} \right):3 + 12:3 = - 9 + 4 = - 5\end{aligned}

б) 

(−20):5+75:5=−4+15=11(−20):5+75:5=(−20+75):5=55:5=11\begin{aligned}&\left( { - 20} \right):5 + 75:5 = - 4 + 15 = 11 \\ &\left( { - 20} \right):5 + 75:5 = \left( { - 20 + 75} \right):5 = 55:5 = 11\end{aligned}

4. Израчунати користећи дистрибутивни закон:

а) −7⋅43−12⋅7+7⋅10=7⋅(−43−12+10)=7⋅(−45)=−315- 7 \cdot 43 - 12 \cdot 7 + 7 \cdot 10 = 7 \cdot \left( { - 43 - 12 + 10} \right) = 7 \cdot \left( { - 45} \right) = - 315

б)−76⋅47−58⋅47+47⋅34=47(−76−58+34)=47(−100)=−4700- 76 \cdot 47 - 58 \cdot 47 + 47 \cdot 34 = 47\left( { - 76 - 58 + 34} \right) = 47\left( { - 100} \right) = - 4700

За множење целих бројева важе исте особине као за природне бројеве. Замена места чинилаца (комутативност), a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a, и њихово здруживање (асоцијативност), (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), дозвољавају да чиниоце поређате и групишете како вам је лакше. Тражите парове који дају 10, 100 или 1000: (−25)⋅11⋅(−4)=(−25)⋅(−4)⋅11=100⋅11=1100(-25) \cdot 11 \cdot (-4) = (-25) \cdot (-4) \cdot 11 = 100 \cdot 11 = 1100.

Дистрибутивни закон, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, користи се у оба смера. Унапред се множи сваки сабирак у загради: 7⋅(−21+16)=−147+112=−357 \cdot (-21 + 16) = -147 + 112 = -35. Уназад се заједнички чинилац извлачи испред заграде: (−20)⋅43+57⋅(−20)=(−20)⋅100=−2000(-20) \cdot 43 + 57 \cdot (-20) = (-20) \cdot 100 = -2000. Исто важи и за дељење збира: (a+b):c=a:c+b:c(a + b) : c = a : c + b : c. Пазите на знак кад извлачите чинилац: −7⋅43−12⋅7=7⋅(−43−12)-7 \cdot 43 - 12 \cdot 7 = 7 \cdot (-43 - 12), а не 7⋅(43−12)7 \cdot (43 - 12).

−30−20−100102030n · b = −6n · a = −12n · (a + b)
3
−4
−2
n · (a + b)
−18
n · a + n · b
−18
Скок n⋅an \cdot a и надовезани скок n⋅bn \cdot b увек се заврше тачно у n⋅(a+b)n \cdot (a + b). То је дистрибутивни закон, и важи и кад су бројеви негативни.

Особине множења користите кад рачунате напамет: у продавници, кад се исти попуст рачуна за више комада, или код куће, кад сабирате исте месечне трошкове за целу годину.

Трошкови за годину

Породица сваког месеца плаћа рату кредита од 4750 динара и интернет од 1250 динара. Исплате записујемо као негативне бројеве. Колико се укупно промени стање рачуна за 12 месеци? Израчунајте на два начина.

Решење

  1. Први начин, сваки трошак посебно: 12⋅(−4750)+12⋅(−1250)=−57.000+(−15.000)=−72.00012 \cdot (-4750) + 12 \cdot (-1250) = -57.000 + (-15.000) = -72.000.
  2. Други начин, дистрибутивни закон: 12⋅(−4750)+12⋅(−1250)=12⋅(−4750−1250)12 \cdot (-4750) + 12 \cdot (-1250) = 12 \cdot (-4750 - 1250).
  3. У загради је −6000-6000, па је 12⋅(−6000)=−72.00012 \cdot (-6000) = -72.000, без великих међурезултата.

Одговор: За годину стање рачуна се промени за −72.000-72.000 динара, односно смањи се за 72.000 динара.

Задатак за вежбу

Израчунајте на лакши начин: (−4)⋅17⋅(−25)(-4) \cdot 17 \cdot (-25) и (−9)⋅36+64⋅(−9)(-9) \cdot 36 + 64 \cdot (-9).

Прикажи решење

(−4)⋅(−25)⋅17=100⋅17=1700(-4) \cdot (-25) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700; (−9)⋅(36+64)=(−9)⋅100=−900(-9) \cdot (36 + 64) = (-9) \cdot 100 = -900.