Подударност троуглова – трећи део

Ставови о подударности троуглова, понављање градива.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

1. Aко су М и N средишта кракова АС и ВС једнакокраког троугла са основицом АВ, доказати да су дужи АN и BM подударне.

2. Правоугли троуглови који имају подударну једну катету и један оштар угао су међусобно подударни. Доказати.

3. Дат је једнакокраки троугао АВС са основицом АВ. На краку ВС дата је произвољна тачка М, а на краку АС је дата тачка N таква да је АМ = ВN. Доказати да су углови АСМ и ВСN подударни.

4. Круг са центром у тачки С додирује краке угла aОb у тачкама А и В. Доказати да је ОА = ОВ.

1.

578 png

$\left. \begin{aligned}&AB = AB \\ &\measuredangle A = \measuredangle B \\ &AM = BN\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ABM \cong \vartriangle ABN \Rightarrow AN = MB$

2.

579 png

$\left. \begin{aligned}&BC = EF \\ &\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1} \\ &AM = BN\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ABC \cong \vartriangle DEF$

3.

580 png

$\begin{aligned}&AC = BC \\ &AC - AN = BC - AN \\ &AC - AN = BC - BM \\ &CN = MC \\ &\left. \begin{aligned}&AC = BC \\ &\measuredangle ACB = \measuredangle ACB \\ &CN = MC\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ACM \cong \vartriangle BCN\end{aligned}$

4.

581 png

$\left. \begin{aligned}&AS = BS \\ &\measuredangle A = \measuredangle B \\ &SO = SO\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle AOS \cong \vartriangle SOB \Rightarrow OA = OB$

Подударност доказујете једним од четири става: ССС (три странице), СУС (две странице и угао између њих), УСУ (страница и два угла на њој) и ССУ (две странице и угао наспрам веће). Прво уочите два троугла у којима су дужи или углови које треба упоредити. Затим нађите три пара једнаких елемената. Најчешће су то заједничка страница, унакрсни углови, краци и углови на основици једнакокраког троугла, половине једнаких дужи и полупречници исте кружнице. Кад став покаже подударност, једнаки су и сви остали одговарајући елементи. Тако се доказује, на пример, да су дужи од темена угла до тачака у којима кружница додирује његове краке једнаке.

AC: 4 m
BC: 4 m
AN: 4,69 m
BM: 4,69 m

Док је

AC = BC

, подупирачи

AN

и

BM

су једнаки, јер су троуглови

ABN

и

BAM

подударни по ставу СУС. Померите

C

у страну: троугао више није једнакокраки и подупирачи више нису исти.

Столари и бравари тако унапред знају да ће два дела конструкције бити иста: ако се поклапају три одговарајућа елемента која одређују троугао, поклапају се и сви остали, па је довољно измерити један део.

Подупирачи крова

Кровна конструкција викендице има облик једнакокраког троугла $ABC$ : таваница $AB$ дугачка је 6 m, а рогови $AC$ и $BC$ по 4 m. Мајстор поставља подупирач од угла $A$ до средине $N$ рога $BC$ и други од угла $B$ до средине $M$ рога $AC$ . Први подупирач $AN$ дугачак је 4,69 m. Колико дугачак треба да буде други и зашто?

Решење

Посматрамо троуглове $ABN$ и $BAM$ . Страница $AB$ им је заједничка.
Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки: $\measuredangle ABN = \measuredangle BAM$ .
$M$ и $N$ су средине једнаких рогова, па је $BN = AM = 4 : 2 = 2$ m.
Две странице и угао између њих су једнаки, па је $\vartriangle ABN \cong \vartriangle BAM$ по ставу СУС. Одговарајуће странице $AN$ и $BM$ су зато једнаке.

Одговор: Други подупирач $BM$ треба да буде дугачак 4,69 m, исто као први.

Задатак за вежбу

Кружница са центром $S$ додирује краке угла са теменом $O$ у тачкама $A$ и $B$ . Ако је $OA = 7{,}5$ cm, колико је $OB$ ? Који став подударности то доказује?

Прикажи решење

$OB = 7{,}5$ cm. Троуглови $OAS$ и $OBS$ имају заједничку страницу $OS$ , једнаке полупречнике $SA = SB$ и праве углове код $A$ и $B$ , наспрам веће странице $OS$ . Подударни су по ставу ССУ.