Висина, ортоцентар, значајне тачке троугла

Дефиниције, формуле.

Висина троугла је дуж из темена нормална на праву на којој лежи наспрамна страница: $h_c$ полази из темена $C$ и нормална је на $AB$ . Висина је најкраће растојање темена од те праве. Праве на којима леже три висине секу се у једној тачки $H$ , ортоцентру. Код оштроуглог троугла $H$ је у троуглу, код правоуглог у темену правог угла, а код тупоуглог ван троугла. Тада наспрамну страницу морате продужити да бисте спустили висину.

Троугао има четири значајне тачке: центар описане кружнице $O$ (симетрале страница), центар уписане кружнице $S$ (симетрале углова), тежиште $T$ (тежишне дужи) и ортоцентар $H$ (висине). Код једнакостраничног троугла све четири се поклапају.

α: 64°
β: 48°
∡ACD: 26°
∡BCD: 42°

Висина

CD

дели угао код

C

на делове

90^\circ - \alpha

и

90^\circ - \beta

; на почетку су то

26^\circ

и

42^\circ

из примера. Направите тупоугли троугао: ортоцентар

H

излази ван троугла, а подножја две висине падају на продужетке страница.

Висина је најкраће растојање од тачке до праве: по нормали се гради најкраћи прилаз од куће до пута, а грађевинари по нормали мере колико је врх забата или рампе изнад тла.

Најкраћа стаза до пута

Права деоница пута пролази кроз раскрснице $A$ и $B$ , а кућа $C$ је поред пута. На мапи је $\measuredangle CAB = 64^\circ$ и $\measuredangle CBA = 48^\circ$ . Власник гради најкраћу стазу од куће до пута, дуж $CD$ . Које углове стаза гради са правцима $CA$ и $CB$ ?

Решење

Најкраћа стаза је нормална на пут, па је $CD$ висина $h_c$ троугла $ABC$ , а $\measuredangle CDA = \measuredangle CDB = 90^\circ$ .
У троуглу $ADC$ : $\measuredangle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$ .
У троуглу $BDC$ : $\measuredangle BCD = 180^\circ - 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$ .
Провера: $\gamma = 180^\circ - 64^\circ - 48^\circ = 68^\circ$ , а $26^\circ + 42^\circ = 68^\circ$ .

Одговор: Стаза гради угао од $26^\circ$ са правцем $CA$ и угао од $42^\circ$ са правцем $CB$ .

Задатак за вежбу

У троуглу $ABC$ је $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 45^\circ$ . Из темена $A$ спуштена је висина $AD$ на страницу $BC$ . Које углове висина гради са страницама $AB$ и $AC$ ?

Прикажи решење

У троуглу $ABD$ : $\measuredangle BAD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ . Пошто је $\gamma = 65^\circ$ , у троуглу $ADC$ је $\measuredangle DAC = 180^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$ . Провера: $45^\circ + 25^\circ = 70^\circ$ .