Паралелограм

Дефиниција, особине, решени задаци

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Израчунати све унутрашње и спољашње углове паралелограма

ако је:

capture7 jpg

а) један унутрашњи угао ${54^ \circ }$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha = {54^ \circ } \\ &\alpha = \gamma = {54^ \circ } \\ &\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &{54^ \circ } + \beta = {180^ \circ } \\ &\beta = {180^ \circ } - {54^ \circ } \\ &\beta = {126^ \circ } \\ &\beta = \delta = {126^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\alpha _1} = {180^\circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^\circ } - {54^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {126^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {\gamma _1} = {126^ \circ } \\ &{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \\ &{\beta _1} = {180^ \circ } - {126^ \circ } \\ &{\beta _1} = {54^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\delta _1} = {\beta _1} \\ &{\delta _1} = {54^ \circ }\end{aligned} \end{array}$

б) збир два унутрашња угла ${157^ \circ }$

$\alpha + \gamma = {157^ \circ }$

$\alpha = \gamma$
$2\gamma = {157^ \circ }$
$\gamma = {157^ \circ }:2$
$\gamma = {78^ \circ }30'$
$\alpha = {78^ \circ }30'$

$\alpha + \beta = {180^\circ }$
${78^ \circ }30' + \beta = {180^ \circ }$
$\beta = {180^ \circ } - {78^ \circ }30'$
$\beta = {101^ \circ }30'$
$\delta = {101^ \circ }30'$
${\alpha _1} = \beta$
${\alpha _1} = {101^ \circ }30'$

${\gamma _1} = {\alpha _1}$
${\gamma _1} = {101^ \circ }30'$
${\beta _1} = \alpha$
${\beta _1} = {78^ \circ }30'$
${\delta _1} = {\beta _1}$
${\delta _1} = {78^ \circ }30'$

Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне. Наспрамне странице су му и једнаке, а исто важи за наспрамне углове: $\alpha = \gamma$ и $\beta = \delta$ . Два суседна угла увек дају $180^\circ$ , на пример $\alpha + \beta = 180^\circ$ , па је довољно знати један угао да бисте израчунали све остале. Дијагонале паралелограма се полове.

Спољашњи угао и унутрашњи угао код истог темена дају $180^\circ$ : $\alpha_1 = 180^\circ - \alpha$ . Зато је спољашњи угао код темена $A$ једнак унутрашњем углу $\beta$ . Пазите: ако је дат збир два унутрашња угла који није $180^\circ$ , то нису суседни, већ наспрамни углови, па збир поделите са 2.

Угао α65°

α + β: 180°
γ: 65°
Спољашњи α₁: 115°

Наспрамни углови остају једнаки, а суседни увек дају

180^\circ

. Спољашњи угао

\alpha_1

увек је једнак углу

\beta

. За

65^\circ

добијате полицу из примера.

Столар који прави полицу или рам у облику паралелограма из једног угла зна под којим угловима да сече све летве. На истом облику раде зглобни крак стоне лампе и брисачи на аутобусу: странице остају паралелне док се углови мењају.

Украсна полица

Столар у Крагујевцу прави зидну полицу у облику паралелограма $ABCD$ . Доња летва $AB$ и горња $CD$ су водоравне, а бочне летве су нагнуте, тако да је угао код темена $A$ једнак $65^\circ$ . Под којим угловима се спајају летве у осталим теменима и колики је спољашњи угао код темена $A$ ?

Решење

Наспрамни углови паралелограма су једнаки: $\gamma = \alpha = 65^\circ$ .
Суседни углови дају $180^\circ$ : $\beta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ , а онда је и $\delta = \beta = 115^\circ$ .
Спољашњи угао код $A$ : $\alpha_1 = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ , колико и $\beta$ .
Провера: $65^\circ + 115^\circ + 65^\circ + 115^\circ = 360^\circ$ .

Одговор: Летве се спајају под углом од $65^\circ$ код темена $A$ и $C$ и под углом од $115^\circ$ код $B$ и $D$ , а спољашњи угао код $A$ је $115^\circ$ .

Задатак за вежбу

Збир два унутрашња угла паралелограма је $248^\circ$ . Израчунајте све унутрашње и спољашње углове тог паралелограма.

Прикажи решење

Збир није $180^\circ$ , па су то наспрамни углови: $\beta = \delta = 248^\circ : 2 = 124^\circ$ , а $\alpha = \gamma = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$ . Спољашњи углови су $\alpha_1 = \gamma_1 = 124^\circ$ и $\beta_1 = \delta_1 = 56^\circ$ .