Троугао – описана и уписана кружница

Дефиниције.

Симетрала дужи је права која је нормална на дуж и пролази кроз њено средиште. Свака њена тачка једнако је удаљена од крајева дужи. Симетрале све три странице троугла секу се у једној тачки $O$ , која је једнако удаљена од сва три темена. То је центар описане кружнице, а њен полупречник је $r_o = OA = OB = OC$ . Код оштроуглог троугла $O$ је у троуглу, код правоуглог на средини хипотенузе, а код тупоуглог ван троугла.

Симетрале унутрашњих углова секу се у тачки $S$ , која је једнако удаљена од све три странице. То је центар уписане кружнице и увек је у троуглу. Полупречник $r_u$ мерите по нормали из $S$ на страницу, а не до темена.

OA: 5 m
OB: 5 m
OC: 5 m
Највећи угао: 90°

Кружница кроз сва три темена има центар

O

у пресеку симетрала страница. Кад је највећи угао

90^\circ

,

O

је тачно на средини хипотенузе, као у примеру са прскалицом, а кад је већи од

90^\circ

,

O

излази из троугла. Укључите уписану кружницу: њен центар

S

никад не излази.

Кад нешто треба поставити подједнако далеко од три места, као бунар између три куће или антену између три села, тражи се центар описане кружнице. Центар уписане кружнице показује где стаје највећи круг у троугаону плочу или леју.

Прскалица у воћњаку

У воћњаку код Чачка три стабла стоје у теменима правоуглог троугла $ABC$ , са правим углом код стабла $A$ . Растојања су $AB = 8$ m, $AC = 6$ m и $BC = 10$ m. Где треба поставити прскалицу да буде једнако удаљена од сва три стабла и колики јој мора бити домет?

Решење

Тачка једнако удаљена од $A$ и $B$ лежи на симетрали дужи $AB$ , а тачка једнако удаљена од $B$ и $C$ на симетрали дужи $BC$ . Тражимо њихов пресек, центар описане кружнице $O$ .
Код правоуглог троугла симетрале катета секу се баш на хипотенузи, у њеном средишту: то показује конструкција, а видите и на слици испод. Зато је $O$ средиште хипотенузе $BC$ .
$OB = OC = 10 : 2 = 5$ m. Тачка $O$ лежи и на симетрали дужи $AB$ , па је и $OA = OB = 5$ m.

Одговор: Прскалицу треба поставити на средину дужи $BC$ , између стабала $B$ и $C$ , а домет мора да јој буде 5 m.

Задатак за вежбу

Углови једног троугла су $35^\circ$ , $45^\circ$ и $100^\circ$ . Да ли је центар описане кружнице у троуглу, на некој страници или ван троугла? Где је центар уписане кружнице?

Прикажи решење

Троугао је тупоугли (угао од $100^\circ$ ), па је центар описане кружнице ван троугла. Центар уписане кружнице је, као код сваког троугла, у троуглу.