Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Углови четвороугла

Дефиниције, формуле, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Да ли постоји конвексан четвороугао чије су мере унутрашњих углова:

а) 113∘,76∘,81∘{113^ \circ }, {76^ \circ }, {81^ \circ } и 90∘{90^ \circ }

б) 161∘29′,72∘43′,66∘37′{161^ \circ }29',{72^ \circ }43',{66^ \circ }37' и 59∘11′{59^ \circ }11'

Пр.2) Израчунати престале унутрашње и спољашње углове конвексног

четвороугла ако је:

а) α=106∘,β=72∘\alpha = {106^ \circ },\beta = {72^ \circ } и γ=83∘\gamma = {83^ \circ }

б) β=91∘,γ1=78∘\beta = {91^ \circ },{\gamma _1} = {78^ \circ } и δ1=113∘{\delta _1} = {113^ \circ }

Пр.3) Ако су углови конвексног четророугла α\alpha, α+20∘,2α−30∘\alpha + {20^ \circ },2\alpha - {30^ \circ } и

α+40∘\alpha + {40^ \circ }, израчунати све спољашње и унутрашње углове тог четвороугла.

Пр.4) На основу података са слике, одредите све унутрашње углове четвороугла ABCDABCD.

676 jpg

Пр.1) Да ли постоји конвексан четвороугао чије су мере унутрашњих углова:

Збир унутрашњих углова конвексног четвороугла је 360∘{360^ \circ }.

а)  Имамо α=113∘,β=76∘,γ=81∘,δ=90∘\alpha = {113^ \circ },\beta = {76^ \circ },\gamma = {81^ \circ },\delta = {90^ \circ }

Зa конвексан четвороугао важи:

α+β+γ+δ=360∘\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ }

Проверимо

113∘+76∘+81∘+90∘=360∘{113^ \circ } + {76^ \circ } + {81^ \circ } + {90^ \circ } = {360^ \circ }

Постоји конвексан четвороугао.

б) α=161∘29′,β=72∘43′,γ=66∘37′,δ=59∘11′\alpha = {161^ \circ }29',\beta = {72^ \circ }43',\gamma = {66^ \circ }37',\delta = {59^ \circ }11'

674 jpg

Постоји конвексан четвороугао.

Пр.2) Израчунати престале унутрашње и спољашње углове конвексног

четвороугла ако је:

а) α=106∘,β=72∘\alpha = {106^ \circ },\beta = {72^ \circ } и γ=83∘\gamma = {83^ \circ }

δ,α1,β1,γ1,δ1=?\delta ,{\alpha _1},{\beta _1},{\gamma _1},{\delta _1} = ?

α+β+γ+δ=360∘106∘+72∘+83∘+δ=360∘261∘+δ=360∘δ=360∘−261∘δ=99∘‾\begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \\ &{106^ \circ } + {72^ \circ } + {83^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \\ &{261^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \\ &\delta = {360^ \circ } - {261^ \circ } \\ &\underline {\delta = {{99}^ \circ }}\end{aligned}

α1=180∘−αα1=180∘−106∘α1=74∘β1=180∘−ββ1=180∘−72∘β1=108∘γ1=180∘−γγ1=180∘−83∘γ1=97∘δ1=180∘−δδ1=180∘−99∘δ1=81∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - {106^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {74^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \\ &{\beta _1} = {180^ \circ } - {72^ \circ } \\ &{\beta _1} = {108^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\gamma _1} = {180^ \circ } - \gamma \\ &{\gamma _1} = {180^ \circ } - {83^ \circ } \\ &{\gamma _1} = {97^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\delta _1} = {180^ \circ } - \delta \\ &{\delta _1} = {180^ \circ } - {99^ \circ } \\ &{\delta _1} = {81^ \circ }\end{aligned} \end{array}

б) β=91∘,γ1=78∘,δ1=113∘\beta = {91^\circ },{\gamma _1} = {78^\circ },{\delta _1} = {113^\circ }

α,α1,β1,γ,δ=?\alpha ,{\alpha _1},{\beta _1},\gamma ,\delta = ?

γ=180∘−γ1γ=180∘−78∘γ=102∘‾δ=180∘−δ1δ=180∘−113∘δ=67∘‾\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\gamma = {180^ \circ } - {\gamma _1} \\ &\gamma = {180^ \circ } - {78^ \circ } \\ &\underline {\gamma = {{102}^ \circ }}\end{aligned} &\begin{aligned}&\delta = {180^ \circ } - {\delta _1} \\ &\delta = {180^ \circ } - {113^ \circ } \\ &\underline {\delta = {{67}^ \circ }}\end{aligned} \end{array}

α+β+γ+δ=360∘α+91∘+102∘+67∘=360∘α+260∘=360∘α=360∘−260∘α=100∘‾\begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \\ &\alpha + {91^ \circ } + {102^ \circ } + {67^ \circ } = {360^ \circ } \\ &\alpha + {260^ \circ } = {360^ \circ } \\ &\alpha = {360^ \circ } - {260^ \circ } \\ &\underline {\alpha = {{100}^ \circ }}\end{aligned}

α1=180∘−αα1=180∘−100∘α1=80∘‾β1=180∘−ββ1=180∘−91∘β1=89∘‾\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - {100^ \circ } \\ &\underline {{\alpha _1} = {{80}^ \circ }}\end{aligned} &\begin{aligned}&{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \\ &{\beta _1} = {180^ \circ } - {91^ \circ } \\ &\underline {{\beta _1} = {{89}^ \circ }}\end{aligned} \end{array}

Пр.3) Ако су углови конвексног четророугла α\alpha, α+20∘,2α−30∘\alpha + {20^ \circ },2\alpha - {30^ \circ } и

α+40∘\alpha + {40^ \circ }, израчунати све спољашње и унутрашње углове тог четвороугла.

675 jpg

β=α+20∘,γ=2α−30∘,δ=α+40∘\beta = \alpha + {20^ \circ },\gamma = 2\alpha - {30^ \circ },\delta = \alpha + {40^ \circ }

α+β+γ+δ=360∘\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ }

α+α+20∘+2α−30∘+α+40∘=360∘\alpha + \alpha + {20^ \circ } + 2\alpha - {30^ \circ } + \alpha + {40^ \circ } = {360^ \circ }

5α+30∘=360∘5\alpha + {30^ \circ } = {360^ \circ }

5α=330∘5\alpha = {330^ \circ }

α=66∘‾\underline {\alpha = {{66}^ \circ }}

β=α+20∘β=66∘+20∘β=86∘γ=2α−30∘γ=2⋅66∘−30∘γ=132∘−30∘γ=102∘δ=α+40∘δ=66∘+40∘δ=106∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\beta = \alpha + {20^ \circ } \\ &\beta = {66^ \circ } + {20^ \circ } \\ &\beta = {86^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\gamma = 2\alpha - {30^ \circ } \\ &\gamma = 2 \cdot {66^ \circ } - {30^ \circ } \\ &\gamma = {132^ \circ } - {30^ \circ } \\ &\gamma = {102^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\delta = \alpha + {40^ \circ } \\ &\delta = {66^ \circ } + {40^ \circ } \\ &\delta = {106^ \circ }\end{aligned} \end{array}

α1=180∘−αα1=180∘−66∘α1=114∘‾β1=180∘−ββ1=180∘−86∘β1=94∘‾γ1=180∘−γγ1=180∘−102∘γ1=78∘‾δ1=180∘−δδ1=180∘−106∘δ1=74∘‾\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - {66^ \circ } \\ &\underline {{\alpha _1} = {{114}^ \circ }}\end{aligned} &\begin{aligned}&{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \\ &{\beta _1} = {180^ \circ } - {86^ \circ } \\ &\underline {{\beta _1} = {{94}^ \circ }}\end{aligned} &\begin{aligned}&{\gamma _1} = {180^ \circ } - \gamma \\ &{\gamma _1} = {180^ \circ } - {102^ \circ } \\ &\underline {{\gamma _1} = {{78}^ \circ }}\end{aligned} &\begin{aligned}&{\delta _1} = {180^ \circ } - \delta \\ &{\delta _1} = {180^ \circ } - {106^ \circ } \\ &\underline {{\delta _1} = {{74}^ \circ }}\end{aligned} \end{array}

Пр.4) На основу података са слике, одредите све унутрашње углове четвороугла ABCDABCD.

677 jpg

AB=ADAB=AD, CB=CDCB=CD

Троугао  △BDA\vartriangle BDA је једнакокраки. Онда: 

x+x+47∘=180∘x + x + {47^ \circ } = {180^ \circ }

2x+47∘=180∘2x + {47^ \circ } = {180^ \circ }

2x=180∘−47∘2x = {180^ \circ } - {47^ \circ }

2x=133∘2x = {133^ \circ }

x=133∘:2x = {133^ \circ }:2

x=132∘60′:2x = {132^ \circ }60':2

x=66∘30′x = {66^ \circ }30'

Троугао  △BCD\vartriangle BCD је једнакокраки. Онда: 

72∘+72∘+γ=180∘{72^ \circ } + {72^ \circ } + \gamma = {180^ \circ }
144∘+γ=180∘{144^ \circ } + \gamma = {180^ \circ }
γ=180∘−144∘\gamma = {180^ \circ } - {144^ \circ }
γ=36∘‾\underline {\gamma = {{36}^ \circ }}

β=δ=72∘+x\beta = \delta = {72^ \circ } + x
β=δ=72∘+66∘30′\beta = \delta = {72^ \circ } + {66^ \circ }30'
β=δ=138∘30′‾\underline {\beta = \delta = {{138}^ \circ }30'}

Збир унутрашњих углова конвексног четвороугла је 360∘360^\circ, јер га дијагонала дели на два троугла. Спољашњи угао је суплементан унутрашњем: α1=180∘−α\alpha_1 = 180^\circ - \alpha. Зато је и збир спољашњих углова 4⋅180∘−360∘=360∘4 \cdot 180^\circ - 360^\circ = 360^\circ.

Задаци су три врсте. Да ли четвороугао са датим угловима постоји: саберите углове и проверите да ли је збир тачно 360∘360^\circ. Кад недостаје један угао, одузмите збир познатих углова од 360∘360^\circ, а спољашње углове добијате из унутрашњих. Кад су углови задати преко α\alpha, саберите изразе, изједначите збир са 360∘360^\circ и решите једначину. Код углова са минутама пазите да је 60′=1∘60' = 1^\circ.

α1​ = 75°β1​ = 75°γ1​ = 98°δ1​ = 112°ABCD
α₁ + β₁ + γ₁ + δ₁
360°
α + β + γ + δ
360°
Зелени углови су спољашњи: између странице и продужетка претходне странице, баш колико бициклиста скреће. Док је четвороугао конвексан, њихов збир остаје 360∘360^\circ. На почетку су то скретања из примера.

Кад бициклиста обилази блок зграда, на сваком углу скреће за спољашњи угао, а после целог круга окренуо се за 360∘360^\circ. Зидари и столари из збира од 360∘360^\circ проверавају да ли су добро измерили углове просторије или оквира.

Круг око блока

Ђорђе вози бицикл око блока зграда у Новом Саду. Блок има облик конвексног четвороугла, а Ђорђе на сваком углу скреће улево. На прва три угла скренуо је за 75∘75^\circ, 98∘98^\circ и 112∘112^\circ. За колико степени скреће на четвртом углу и колики су унутрашњи углови блока?

Решење

  1. Угао за који бициклиста скреће је спољашњи угао четвороугла. Кад обиђе блок, окренуо се за пун круг, па је збир спољашњих углова 360∘360^\circ.
  2. Четврто скретање је 360∘−(75∘+98∘+112∘)=360∘−285∘=75∘360^\circ - (75^\circ + 98^\circ + 112^\circ) = 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ.
  3. Унутрашњи углови су суплементни спољашњим: 180∘−75∘=105∘180^\circ - 75^\circ = 105^\circ, 180∘−98∘=82∘180^\circ - 98^\circ = 82^\circ, 180∘−112∘=68∘180^\circ - 112^\circ = 68^\circ и 180∘−75∘=105∘180^\circ - 75^\circ = 105^\circ.
  4. Провера: 105∘+82∘+68∘+105∘=360∘105^\circ + 82^\circ + 68^\circ + 105^\circ = 360^\circ.

Одговор: На четвртом углу Ђорђе скреће за 75∘75^\circ, а унутрашњи углови блока су 105∘105^\circ, 82∘82^\circ, 68∘68^\circ и 105∘105^\circ.

Задатак за вежбу

Углови конвексног четвороугла су α\alpha, 2α2\alpha, α+30∘\alpha + 30^\circ и α−10∘\alpha - 10^\circ. Израчунајте их.

Прикажи решење

5α+20∘=360∘5\alpha + 20^\circ = 360^\circ, па је 5α=340∘5\alpha = 340^\circ и α=68∘\alpha = 68^\circ. Углови су 68∘68^\circ, 136∘136^\circ, 98∘98^\circ и 58∘58^\circ.