Правоугли паралелограми

Дефиниција, особине, решени задаци

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Дијагонале правоугаоника образују угао од ${114^ \circ }$ . Израчунати

величину углова које дијагонала гради са страницама тог

правоугаоника.

Пр.2) Обим квадрата је 44cm. Израчунати удаљеност сваке странице

од цемтра уписаног круга у тај квадрат.

Пр.3) Ако је дијагонала правоугаоника 8cm и ако она образује

угао од ${60^ \circ }$ са страницом, израчунати дужину

краће странице тог правоугаоника.

Пр.1) Дијагонале правоугаоника образују угао од ${114^ \circ }$ . Израчунати

величину углова које дијагонала гради са страницама тог

правоугаоника.

capture13 jpg

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha + \alpha + 114^\circ = 180^\circ \\ &2\alpha + 114^\circ = 180^\circ \\ &2\alpha = - 114^\circ + 180^\circ \\ &2\alpha = 68^\circ \\ &\alpha = 34^\circ\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha + \beta = {90^ \circ } \\ &\beta + {34^ \circ } = {90^ \circ } \\ &\beta = {90^ \circ } - {34^ \circ } \\ &\beta = {56^ \circ }\end{aligned} \end{array}$

Пр.2) Обим квадрата је 44cm. Израчунати удаљеност сваке странице

од цемтра уписаног круга у тај квадрат.

capture14 jpg

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&O = 4a \\ &44 = 4a \\ &a = 11cm\end{aligned} &\begin{aligned}&{r_u} = \frac{a}{2} \\ &{r_u} = \frac{{11}}{2} = 5,5cm\end{aligned} \end{array}$

Пр.3) Ако је дијагонала правоугаоника 8cm и ако она образује

угао од ${60^ \circ }$ са страницом, израчунати дужину

краће странице тог правоугаоника.

capture15 jpg

$\begin{aligned}&2b = d \\ &2b = 8 \\ &b = 4cm\end{aligned}$

Правоугли паралелограми су правоугаоник и квадрат: сви углови су им прави. Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се, па је њихов пресек $O$ подједнако удаљен од сва четири темена. Зато се око правоугаоника може описати кружница са центром $O$ и полупречником $r = \frac{d}{2}$ . Дијагонале деле правоугаоник на четири једнакокрака троугла, па из угла између дијагонала добијате углове које дијагонала гради са страницама.

Квадрат има још и нормалне дијагонале које полове његове углове на по $45^\circ$ , а у њега се може уписати кружница полупречника $\frac{a}{2}$ . Пазите: дијагонале правоугаоника нису нормалне једна на другу, то важи само за квадрат.

Дијагонала AC: 120 m
Дијагонала BD: 120 m
Од O до темена: 60 m

Дијагонале су увек једнаке и секу се у центру описане кружнице. Страница квадратића мреже је 10 m; на почетку је парк из примера, са дијагоналама од 120 m и углом

\varphi = 116^\circ

.

Столари и зидари проверавају да ли је рам, сто или темељ заиста правоугаоник: кад су наспрамне странице једнаке, измере обе дијагонале, а оне су једнаке само ако су сви углови прави.

Фонтана у парку

Парк у облику правоугаоника $ABCD$ , са дужом страном $AB$ , пресецају две стазе дуж дијагонала, свака дугачка 120 m. Стазе се секу код фонтане под углом од $116^\circ$ , а тај угао је окренут ка дужој страни парка. Колико је фонтана удаљена од сваког угла парка и које углове стазе заклапају са дужом и са краћом страном?

Решење

Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се, па је фонтана $O$ од сваког угла удаљена $120 : 2 = 60$ m.
Троугао $ABO$ уз дужу страну $AB$ је једнакокрак, јер је $OA = OB = 60$ m, а угао код $O$ је $116^\circ$ .
Углови на његовој основици су $(180^\circ - 116^\circ) : 2 = 32^\circ$ : толико стаза заклапа са дужом страном.
Са краћом страном стаза заклапа $90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$ , јер је угао правоугаоника прав.

Одговор: Фонтана је 60 m од сваког угла парка, а стазе са дужом страном заклапају угао од $32^\circ$ , са краћом од $58^\circ$ .

Задатак за вежбу

Дијагонала правоугаоника је 14 cm и са дужом страницом гради угао од $30^\circ$ . Колика је краћа страница?

Прикажи решење

Са краћом страницом дијагонала гради $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ . Троугао од краће странице и две половине дијагонала је једнакокрак са углом $60^\circ$ на основици, дакле једнакостраничан, па је краћа страница $14 : 2 = 7$ cm.