Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Косоугли паралелограми

Дефиниција, особине, решени задаци

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Израчунати све спољашње и унутрашње углове паралелограма,

           ако је збир три његова унутрашња угла 252∘{252^ \circ }.

Пр.2)   Израчунати све унутрашње углове паралелограма, ако је збир

           два његова спољашња угла 222∘{222^ \circ }.

Пр.3)   Израчунати све спољашње углове ромба, ако висине  из истог

           темена граде угао од 50∘{50^ \circ }.

Пр.4)   Израчунати све унутрашње углове ромба, ако висина и дијагомала

           из истог темена граде угао од 27∘{27^ \circ }.

Пр.5)   Израчунати све унутрање углове ромба, ако висина ромба

           и дијагонала из суседног темена граде угао сд 124∘{124^ \circ }.

Пр.1)   Израчунати све спољашње и унутрашње углове паралелограма,

           ако је збир три његова унутрашња угла 252∘{252^ \circ }.

capture9 jpg

α+β+γ+δ=360∘252∘+δ=360∘δ=360∘−252∘δ=108∘β=δβ=108∘α+β=180∘α+108∘=180∘α=180∘−108∘α=72∘γ=αγ=72∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \\ &{252^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \\ &\delta = {360^ \circ } - {252^ \circ } \\ &\delta = {108^ \circ } \\ &\beta = \delta \\ &\beta = {108^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\alpha + {108^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {108^ \circ } \\ &\alpha = {72^ \circ } \\ &\gamma = \alpha \\ &\gamma = {72^ \circ }\end{aligned} \end{array}

α1=180∘−αα1=180∘−72∘α1=108∘γ1=α1γ1=108∘β1=αβ1=72∘δ1=β1δ1=72∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - {72^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {108^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\gamma _1} = {\alpha _1} \\ &{\gamma _1} = {108^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\beta _1} = \alpha \\ &{\beta _1} = {72^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\delta _1} = {\beta _1} \\ &{\delta _1} = {72^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.2)   Израчунати све унутрашње углове паралелограма, ако је збир

           два његова спољашња угла 222∘{222^ \circ }.

capture9 jpg

α1+γ1=222∘α1=γ1α1+α1=222∘α1=222∘:2α1=111∘α=180∘−111∘α=69∘α=γγ=69∘β=α1β=111∘δ=βδ=111∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\alpha _1} + {\gamma _1} = {222^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {\gamma _1} \\ &{\alpha _1} + {\alpha _1} = {222^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {222^ \circ }:2 \\ &{\alpha _1} = {111^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha = {180^ \circ } - {111^ \circ } \\ &\alpha = {69^ \circ } \\ &\alpha = \gamma \\ &\gamma = {69^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\beta = {\alpha _1} \\ &\beta = {111^ \circ } \\ &\delta = \beta \\ &\delta = {111^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.3)   Израчунати све спољашње углове ромба, ако висине  из истог

           темена граде угао од 50∘{50^ \circ }.

capture10 jpg

50∘+90∘+90∘+β=360∘230∘+β=360∘β=360∘−230∘β=130∘β=δδ=130∘α+β=180∘α+130∘=180∘α=180∘−130∘α=50∘α=γγ=50∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{50^ \circ } + {90^ \circ } + {90^ \circ } + \beta = {360^ \circ } \\ &{230^ \circ } + \beta = {360^ \circ } \\ &\beta = {360^ \circ } - {230^ \circ } \\ &\beta = {130^ \circ } \\ &\beta = \delta \\ &\delta = {130^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\alpha + {130^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {130^ \circ } \\ &\alpha = {50^ \circ } \\ &\alpha = \gamma \\ &\gamma = {50^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.4)   Израчунати све унутрашње углове ромба, ако висина и дијагомала

           из истог темена граде угао од 27∘{27^ \circ }.

capture11 jpg

27∘+90∘+x=180∘117∘+x=180∘x=180∘−117∘x=63∘β=2xβ=2⋅63∘β=126∘δ=βδ=126∘α+β=180∘α+126∘=180∘α=180∘−126∘α=54∘α=γγ=54∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{27^ \circ } + {90^ \circ } + x = {180^ \circ } \\ &{117^ \circ } + x = {180^ \circ } \\ &x = {180^ \circ } - {117^ \circ } \\ &x = {63^ \circ } \\ &\beta = 2x \\ &\beta = 2 \cdot {63^ \circ } \\ &\beta = {126^ \circ } \\ &\delta = \beta \\ &\delta = {126^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\alpha + {126^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {126^ \circ } \\ &\alpha = {54^ \circ } \\ &\alpha = \gamma \\ &\gamma = {54^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.5)   Израчунати све унутрање углове ромба, ако висина ромба

           и дијагонала из суседног темена граде угао сд 124∘{124^ \circ }. 

capture12 jpg

180∘−124∘=56∘x+56∘=90∘x=34∘\begin{aligned}&{180^ \circ } - {124^ \circ } = {56^ \circ } \\ &x + {56^ \circ } = {90^ \circ } \\ &x = {34^ \circ }\end{aligned}

α=2xα=2⋅34∘α=68∘γ=αγ=68∘α+β=180∘68∘+β=180∘β=180∘−68∘β=112∘δ=βδ=112∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha = 2x \\ &\alpha = 2 \cdot {34^ \circ } \\ &\alpha = {68^ \circ } \\ &\gamma = \alpha \\ &\gamma = {68^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &{68^ \circ } + \beta = {180^ \circ } \\ &\beta = {180^ \circ } - {68^ \circ } \\ &\beta = {112^ \circ } \\ &\delta = \beta \\ &\delta = {112^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Косоугли паралелограми немају ниједан прав угао: то су ромбоид, чије су суседне странице различите, и ромб. Два угла су им оштра, а два тупа. Збир свих унутрашњих углова је 360∘360^\circ, наспрамни углови су једнаки, суседни дају 180∘180^\circ, а спољашњи угао је 180∘180^\circ минус унутрашњи код истог темена. Ако знате збир три унутрашња угла, четврти добијате одузимањем од 360∘360^\circ.

Код висина помаже четвороугао који оне граде са страницама: две висине из истог тупог темена заклапају угао једнак оштром углу паралелограма. У ромбу дијагонала полови угао, па углове често рачунате из правоуглог троугла који она гради са висином.

φ = 60,3°αABDC
Угао φ
60,3°
Угао α
60,3°
Угао β
119,7°
Висине из тупог темена DD заклапају угао φ\varphi једнак оштром углу α\alpha. Разлог: висине и странице граде четвороугао са два права угла, па је φ=360∘−90∘−90∘−β=180∘−β\varphi = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \beta = 180^\circ - \beta.

Кад обилазите блок или парк у облику паралелограма, на сваком углу скрећете тачно за спољашњи угао, а сва четири скретања заједно дају пун круг од 360∘360^\circ. Плочице у облику ромбоида слажу се без празнина баш зато што суседни углови дају 180∘180^\circ.

Круг око блока

Бициклиста у Новом Саду обилази блок зграда у облику ромбоида ABCDABCD, у смеру од AA ка BB, CC и DD. На углу AA скреће улево за 64∘64^\circ. Колики су унутрашњи углови блока и за колико степени бициклиста скреће на осталим угловима?

Решење

  1. Скретање на углу је спољашњи угао: α1=64∘\alpha_1 = 64^\circ, па је унутрашњи угао α=180∘−64∘=116∘\alpha = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ.
  2. Наспрамни угао је исти, γ=116∘\gamma = 116^\circ, а суседни су β=δ=180∘−116∘=64∘\beta = \delta = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ.
  3. Скретања на осталим угловима: β1=δ1=180∘−64∘=116∘\beta_1 = \delta_1 = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ и γ1=180∘−116∘=64∘\gamma_1 = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ.
  4. Провера: 64∘+116∘+64∘+116∘=360∘64^\circ + 116^\circ + 64^\circ + 116^\circ = 360^\circ, бициклиста се окренуо за пун круг.

Одговор: Углови блока су 116∘116^\circ код AA и CC и 64∘64^\circ код BB и DD; бициклиста на угловима BB и DD скреће за 116∘116^\circ, а на углу CC за 64∘64^\circ.

Задатак за вежбу

Висине ромба повучене из истог темена граде угао од 40∘40^\circ. Израчунајте унутрашње и спољашње углове ромба.

Прикажи решење

Висине и странице граде четвороугао са два права угла, а његов четврти угао је наспрамни тупи угао ромба: 360∘−90∘−90∘−40∘=140∘360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 140^\circ. Унутрашњи углови су 140∘140^\circ и 40∘40^\circ, а спољашњи 40∘40^\circ и 140∘140^\circ.