Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Једнакокраки троугао

Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати све унутрашње и спољашње углове једнакокраког

           троугла, ако је:

           а) угао на основици 47∘{47^ \circ }

           б) угао при врху 69∘{69^ \circ }

Пр.2)   Ако је један унутрашњи угао једнакокраког троугла 48∘{48^ \circ },

           иурачунати унутрашње углове тог троугла.

Пр.3)   Симетрала угла при врху једнакокраког троугла ABCABC

           гради са краком угао од 16∘30′{16^ \circ }30'. Израчунати све

           унутрашње углове тог троугла.

Пр.4)   У једнакокраком троуглу ABCABC са основицом ABAB, симетрала

           aa гради са краком ACAC угао од 18∘15′{18^ \circ }15'. Израчунати

           све унутрашње углове тог троугла.

Пр.1)   Израчунати све унутрашње и спољашње углове једнакокраког

           троугла, ако је:

           а) угао на основици 47∘{47^ \circ }

555 png

α=47∘β,γ,α1,β1,γ1−?β=α=47∘α+β+γ=180∘47∘+47∘+γ=180∘γ=180∘−94∘γ=86∘\begin{aligned}&\alpha = {47^ \circ } \\ &\beta ,\gamma ,{\alpha _1},{\beta _1},{\gamma _1} - ? \\ &\beta = \alpha = {47^ \circ } \\ &\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ } \\ &{47^ \circ } + {47^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \\ &\gamma = {180^ \circ } - {94^ \circ } \\ &\gamma = {86^ \circ }\end{aligned}

α+α1=180∘α1=180∘−αα1=180∘−47∘α1=133∘β1=133∘γ1=α+βγ1=47∘+47∘γ1=94∘\begin{aligned}&\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - {47^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {133^ \circ } \\ &{\beta _1} = {133^ \circ } \\ &{\gamma _1} = \alpha + \beta \\ &{\gamma _1} = {47^ \circ } + {47^ \circ } \\ &{\gamma _1} = {94^ \circ }\end{aligned}

           б) 

γ=69∘\gamma = {69^ \circ }

α,β,α1,β1,γ1−?\alpha ,\beta ,{\alpha _1},{\beta _1},{\gamma _1} - ?

α+α+γ=180∘\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ }

2α+69∘=180∘2\alpha + {69^ \circ } = {180^ \circ }

2α=111∘2\alpha = {111^ \circ }

α=55∘30′\alpha = {55^ \circ }30'

β=α=55∘30′\beta = \alpha = {55^ \circ }30'

α+α1=180∘\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ }

α1=180∘−α{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha

α1=180∘−55∘30′{\alpha _1} = {180^ \circ } - {55^ \circ }30'

α1=124∘30′{\alpha _1} = {124^ \circ }30'

γ1=α+β{\gamma _1} = \alpha + \beta

γ1=55∘30′+55∘30′{\gamma _1} = {55^ \circ }30' + {55^ \circ }30'

γ1=111∘{\gamma _1} = {111^ \circ }

γ1=94∘{\gamma _1} = {94^ \circ }

Пр.2) 

1. случај

α=48∘α,β,α1,β1,γ1−?α=β=48∘α+α+γ=180∘2⋅48∘+γ=180∘γ=84∘\begin{aligned}&\alpha = {48^ \circ } \\ &\alpha ,\beta ,{\alpha _1},{\beta _1},{\gamma _1} - ? \\ &\alpha = \beta = {48^ \circ } \\ &\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ } \\ &2 \cdot {48^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \\ &\gamma = {84^ \circ }\end{aligned}

2. случај

γ=48∘α+β+γ=180∘α+α+48∘=180∘2⋅α=180∘−48∘α=66∘β=α=66∘\begin{aligned}&\gamma = {48^ \circ } \\ &\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ } \\ &\alpha + \alpha + {48^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2 \cdot \alpha = {180^ \circ } - {48^ \circ } \\ &\alpha = {66^ \circ } \\ &\beta = \alpha = {66^ \circ }\end{aligned}

Пр.3)   

γ=16∘30′⋅2\gamma = {16^ \circ }30' \cdot 2
γ=33∘\gamma = {33^ \circ }
α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ }
α+α+33∘=180∘\alpha + \alpha + {33^ \circ } = {180^ \circ }
2⋅α=180∘−33∘2 \cdot \alpha = {180^ \circ } - {33^ \circ }
α=73∘30′\alpha = {73^ \circ }30'
β=α=73∘30′\beta = \alpha = {73^ \circ }30'

Пр.4)   У једнакокраком троуглу ABCABC са основицом ABAB, симетрала

           aa гради са краком ACAC угао од 18∘15′{18^ \circ }15'. Израчунати

           све унутрашње углове тог троугла.

△ABD\vartriangle ABD
α+α2+18∘15′=180∘\alpha + \frac{\alpha }{2} + {18^ \circ }15' = {180^ \circ }
2α2+α2+18∘15′=180∘\frac{{2\alpha }}{2} + \frac{\alpha }{2} + {18^ \circ }15' = {180^ \circ }
3α2=180∘−18∘15′\frac{{3\alpha }}{2} = {180^ \circ } - {18^ \circ }15'
3α=161∘45′⋅23\alpha = {161^ \circ }45' \cdot 2
α=107∘50′\alpha = {107^ \circ }50'
угао при основице не мора бити вече од 90∘{90^ \circ }

α+α2+161∘45′=180∘\alpha + \frac{\alpha }{2} + {161^ \circ }45' = {180^ \circ }
2α2+α2+161∘45′=180∘\frac{{2\alpha }}{2} + \frac{\alpha }{2} + {161^ \circ }45' = {180^ \circ }
3α2=18∘15′\frac{{3\alpha }}{2} = {18^ \circ }15'
3α=18∘15′⋅23\alpha = {18^ \circ }15' \cdot 2
3α=36∘30′3\alpha = {36^ \circ }30'
α=12∘10′\alpha = {12^ \circ }10'
β=α=12∘10′\beta = \alpha = {12^ \circ }10'
α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ }
γ=180∘−2⋅12∘10′\gamma = {180^ \circ } - 2 \cdot {12^ \circ }10'
γ=180∘−24∘20′\gamma = {180^ \circ } - {24^ \circ }20'
γ=155∘40′\gamma = {155^ \circ }40'

Једнакокраки троугао има две једнаке странице, кракове, а трећа страница је основица. Углови на основици су једнаки, α=β\alpha = \beta, па из α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ следи γ=180∘−2α\gamma = 180^\circ - 2\alpha и α=180∘−γ2\alpha = \frac{180^\circ - \gamma}{2}. Симетрала угла при врху је оса симетрије троугла: дели основицу на две једнаке половине и нормална је на њу.

Кад је дат један оштар угао, а не пише који је, постоје два решења: за 48∘48^\circ углови су 48∘48^\circ, 48∘48^\circ и 84∘84^\circ, или 66∘66^\circ, 66∘66^\circ и 48∘48^\circ. Углови на основици су увек оштри, па туп угао може бити само угао при врху. Спољашњи угао при врху једнак је 2α2\alpha.

α = 35°β = 35°γ = 110°4,94,9ABC
α = β
35°
γ = 180° − 2α
110°
Ма како померали врх CC и крај основице AA, краци остају једнаки, а са њима и углови на основици. Испрекидана симетрала угла при врху сече основицу на пола, под правим углом.

Тесари рачунају углове једнакокраког троугла кад секу рогове за двоводни кров, јер обе стране крова морају имати исти нагиб; исти облик имају вешалице, носачи љуљашки и забати кућа.

Забат викендице

Пресек двоводног крова викендице је једнакокраки троугао, а угао при врху, на слемену, је 110∘110^\circ. Колики угао сваки рог гради са таваничном гредом? Усправни стуб испод слемена лежи на симетрали угла при врху. Колики угао гради са сваким рогом?

Решење

  1. Углови на основици су једнаки: 2α=180∘−110∘=70∘2\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ.
  2. Зато је α=β=35∘\alpha = \beta = 35^\circ: толики угао сваки рог гради са гредом.
  3. Стуб дели угао при врху на пола, па са сваким рогом гради 110∘:2=55∘110^\circ : 2 = 55^\circ.
  4. Провера у половини забата: 35∘+55∘+90∘=180∘35^\circ + 55^\circ + 90^\circ = 180^\circ, јер је стуб нормалан на греду.

Одговор: Рогови са гредом граде углове од 35∘35^\circ, а стуб са сваким рогом угао од 55∘55^\circ.

Задатак за вежбу

Угао при врху једнакокраког троугла је 75∘75^\circ. Израчунајте углове на основици и спољашњи угао при врху.

Прикажи решење

2α=180∘−75∘=105∘2\alpha = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ, па је α=β=52∘30′\alpha = \beta = 52^\circ 30'. Спољашњи угао при врху је 180∘−75∘=105∘=2α180^\circ - 75^\circ = 105^\circ = 2\alpha.