Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Једначине и неједначине са апсолутним вредностима у скупу Q

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Решити једначине:

           а) ∣x∣=118\left| x \right| = 1\frac{1}{8}

           б) ∣x∣=2,89\left| x \right| = 2,89

           в) ∣x∣+0,25=138\left| x \right| + 0,25 = 1\frac{3}{8}

           г) ∣x∣−2,6=114\left| x \right| - 2,6 = 1\frac{1}{4}

           д) 3,2−∣x∣=−1563,2 - \left| x \right| = - 1\frac{5}{6}

           ђ) ∣x∣+2,5=12\left| x \right| + 2,5 = \frac{1}{2}

Пр.2)   Решити неједначине:

           а) ∣x∣<212\left| x \right| < 2\frac{1}{2}

           б) ∣x∣<2,5\left| x \right| < 2,5

           в) 3,4+∣x∣⩽8343,4 + \left| x \right| \leqslant 8\frac{3}{4}

           г) ∣x∣>114\left| x \right| > 1\frac{1}{4}

           д) ∣x∣>0,5\left| x \right| > 0,5

           ђ) ∣x∣−2,2⩾45\left| x \right| - 2,2 \geqslant \frac{4}{5}

Пр.1)   Решити једначине:

           а)

∣x∣=118x=118x=−118x∈{−118;118}\begin{aligned}&\left| x \right| = 1\frac{1}{8} \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 1\frac{1}{8}}&{}&{x = - 1\frac{1}{8}} \end{array} \\ &x \in \left\{ { - 1\frac{1}{8};1\frac{1}{8}} \right\}\end{aligned}

           б) 

∣x∣=2,89x=2,89x=−2,89x∈{−2,89;2,89}\begin{aligned}&\left| x \right| = 2,89 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 2,89}&{}&{x = - 2,89} \end{array} \\ &x \in \left\{ { - 2,89;2,89} \right\}\end{aligned}

           в) 

∣x∣+0,25=138∣x∣=13751000−0,25∣x∣=1,375−0,25∣x∣=1,125x=1,125x=−1,125x∈{−1,125;1,125}\begin{aligned}&\left| x \right| + 0,25 = 1\frac{3}{8} \\ &\left| x \right| = 1\frac{{375}}{{1000}} - 0,25 \\ &\left| x \right| = 1,375 - 0,25 \\ &\left| x \right| = 1,125 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 1,125}&{}&{x = - 1,125} \end{array} \\ &x \in \left\{ { - 1,125;1,125} \right\}\end{aligned}

           г) 

∣x∣−2,6=114∣x∣=114+2,6∣x∣=125100+2,6∣x∣=1,25+2,6∣x∣=3,85x=3,85x=−3,85x∈{−3,85;3,85}\begin{aligned}&\left| x \right| - 2,6 = 1\frac{1}{4} \\ &\left| x \right| = 1\frac{1}{4} + 2,6 \\ &\left| x \right| = 1\frac{{25}}{{100}} + 2,6 \\ &\left| x \right| = 1,25 + 2,6 \\ &\left| x \right| = 3,85 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 3,85}&{}&{x = - 3,85} \end{array} \\ &x \in \left\{ { - 3,85;3,85} \right\}\end{aligned}

          д)

3,2−∣x∣=−156∣x∣=3,2+156∣x∣=3210+156∣x∣=3630+12530∣x∣=43130∣x∣=5130x=5130x=−5130x∈{−5130;5130}\begin{aligned}&3,2 - \left| x \right| = - 1\frac{5}{6} \\ &\left| x \right| = 3,2 + 1\frac{5}{6} \\ &\left| x \right| = 3\frac{2}{{10}} + 1\frac{5}{6} \\ &\left| x \right| = 3\frac{6}{{30}} + 1\frac{{25}}{{30}} \\ &\left| x \right| = 4\frac{{31}}{{30}} \\ &\left| x \right| = 5\frac{1}{{30}} \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 5\frac{1}{{30}}}&{}&{x = - 5\frac{1}{{30}}} \end{array} \\ &x \in \left\{ { - 5\frac{1}{{30}};5\frac{1}{{30}}} \right\}\end{aligned}

           ђ) 

∣x∣+2,5=12∣x∣=0,5−2,5∣x∣=−2x∈∅\begin{aligned}&\left| x \right| + 2,5 = \frac{1}{2} \\ &\left| x \right| = 0,5 - 2,5 \\ &\left| x \right| = - 2 \\ &x \in \emptyset\end{aligned}

нема решења

Пр.2)   Решити неједначине:

           а) 

∣x∣<212−212<x<212x∈{−212;212}\begin{aligned}&\left| x \right| < 2\frac{1}{2} \\ &- 2\frac{1}{2} < x < 2\frac{1}{2} \\ &x \in \left\{ { - 2\frac{1}{2};2\frac{1}{2}} \right\}\end{aligned}

           б) 

∣x∣<2,5−2,5<x<2,5x∈{−2,5;2,5}\begin{aligned}&\left| x \right| < 2,5 \\ &- 2,5 < x < 2,5 \\ &x \in \left\{ { - 2,5;2,5} \right\}\end{aligned}

           в) 

3,4+∣x∣⩽834∣x∣⩽875100−3,4∣x∣⩽8,75−3,4∣x∣⩽5,35−5,35<x<5,35x∈{−5,35;5,35}\begin{aligned}&3,4 + \left| x \right| \leqslant 8\frac{3}{4} \\ &\left| x \right| \leqslant 8\frac{{75}}{{100}} - 3,4 \\ &\left| x \right| \leqslant 8,75 - 3,4 \\ &\left| x \right| \leqslant 5,35 \\ &- 5,35 < x < 5,35 \\ &x \in \left\{ { - 5,35;5,35} \right\}\end{aligned}

           г) 

∣x∣>114x>114∪x<−114x∈{−∞;−114}∪{114;+∞}\begin{aligned}&\left| x \right| > 1\frac{1}{4} \\ &x > 1\frac{1}{4} \cup x < - 1\frac{1}{4} \\ &x \in \left\{ { - \infty ; - 1\frac{1}{4}} \right\} \cup \left\{ {1\frac{1}{4}; + \infty } \right\}\end{aligned}

           д) 

∣x∣>0,5x>0,5∪x<−0,5x∈{−∞;−0,5}∪{0,5;+∞}\begin{aligned}&\left| x \right| > 0,5 \\ &x > 0,5 \cup x < - 0,5 \\ &x \in \left\{ { - \infty ; - 0,5} \right\} \cup \left\{ {0,5; + \infty } \right\}\end{aligned}

           ђ) 

∣x∣−2,2⩾45∣x∣⩾810+2,2∣x∣⩾0,8+2,2∣x∣⩾3x⩽−3∪x⩾3x∈{−∞;−3}∪{3;+∞}\begin{aligned}&\left| x \right| - 2,2 \geqslant \frac{4}{5} \\ &\left| x \right| \geqslant \frac{8}{{10}} + 2,2 \\ &\left| x \right| \geqslant 0,8 + 2,2 \\ &\left| x \right| \geqslant 3 \\ &x \leqslant - 3 \cup x \geqslant 3 \\ &x \in \left\{ { - \infty ; - 3} \right\} \cup \left\{ {3; + \infty } \right\}\end{aligned}

Једначина ∣x∣=a|x| = a за a>0a > 0 има два решења, x=ax = a и x=−ax = -a, јер су оба броја на растојању aa од нуле. За a=0a = 0 решење је само x=0x = 0, а за a<0a < 0 решења нема. Прво издвојите ∣x∣|x|: из ∣x∣+0,5=214|x| + 0{,}5 = 2\frac{1}{4} следи ∣x∣=1,75|x| = 1{,}75, па је x∈{−1,75; 1,75}x \in \{-1{,}75;\ 1{,}75\}.

Неједначина ∣x∣<a|x| < a значи да је xx ближи нули од aa: −a<x<a-a < x < a, један интервал. Неједначина ∣x∣>a|x| > a значи да је xx даље од нуле: x<−ax < -a или x>ax > a, два дела праве. Код ⩽\leqslant и ⩾\geqslant бројеви −a-a и aa припадају решењу. Пре решавања погледајте знак: ∣x∣<−1|x| < -1 нема решења, а ∣x∣>−1|x| > -1 важи за сваки број, јер апсолутна вредност није негативна.

−5−4−3−2−1012345|x| < ax
1,5
|x|
1
a
1,5
Решење неједначине ∣x∣<a|x| < a су сви бројеви ближи нули од aa. Укључите ∣x∣>a|x| > a: решење се дели на два дела праве. Бројеви −a-a и aa су празни кружићи, јер за њих важи ∣x∣=a|x| = a. Померите и тачку xx и упоредите ∣x∣|x| са aa.

Апсолутном вредношћу се изражава дозвољено одступање: маса производа, мера машинског дела или температура у фрижидеру смеју да одступају од задате вредности највише за прописани износ, на више или на мање.

Маса векне хлеба

Пекара у Суботици пече векне од 500 g. Векна је исправна ако њена маса одступа од 500 g највише 7,5 g, то јест ако за одступање dd, у грамима, важи ∣d∣⩽7,5|d| \leqslant 7{,}5. Измерене су три векне: 493,2 g, 508 g и 497,5 g. Које су исправне и у ком распону сме бити маса векне?

Решење

  1. Одступања су 493,2−500=−6,8493{,}2 - 500 = -6{,}8, 508−500=8508 - 500 = 8 и 497,5−500=−2,5497{,}5 - 500 = -2{,}5.
  2. Неједначина ∣d∣⩽7,5|d| \leqslant 7{,}5 значи −7,5⩽d⩽7,5-7{,}5 \leqslant d \leqslant 7{,}5.
  3. ∣−6,8∣=6,8⩽7,5|-6{,}8| = 6{,}8 \leqslant 7{,}5 и ∣−2,5∣=2,5⩽7,5|-2{,}5| = 2{,}5 \leqslant 7{,}5, али ∣8∣=8>7,5|8| = 8 > 7{,}5.
  4. Маса сме бити од 500−7,5=492,5500 - 7{,}5 = 492{,}5 g до 500+7,5=507,5500 + 7{,}5 = 507{,}5 g.

Одговор: Исправне су векне од 493,2 g и 497,5 g, а маса векне сме бити од 492,5 g до 507,5 g.

Задатак за вежбу

Решите једначину ∣x∣−114=2,5|x| - 1\frac{1}{4} = 2{,}5 и неједначину ∣x∣+3<412|x| + 3 < 4\frac{1}{2}.

Прикажи решење

∣x∣=2,5+1,25=3,75|x| = 2{,}5 + 1{,}25 = 3{,}75, па је x∈{−3,75; 3,75}x \in \{-3{,}75;\ 3{,}75\}. Из ∣x∣<4,5−3=1,5|x| < 4{,}5 - 3 = 1{,}5 следи −1,5<x<1,5-1{,}5 < x < 1{,}5.