Трапез

Дефиниција, особине, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Израчунај све унутрашње и спољашње углове трапеза ако је

$\alpha = {63^ \circ }$ и $\gamma = {126^ \circ }$ .

Пр.2) Ако су основице трапеза 4,2cm и 8,3cm, израчунати дужину

средње линије тог трапеза.

Пр.3) Ако је једна основица трапеза 8cm, а средња линија 11,5cm,

израчунати дужину друге основице тог трапеза.

Пр.1) Израчунај све унутрашње и спољашње углове трапеза ако је

$\alpha = {63^ \circ }$ и $\gamma = {126^ \circ }$ .

capture16 jpg

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - {63^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {117^ \circ } \\ &{\delta _1} = \alpha = {63^ \circ } \\ &\delta = {\alpha _1} = {117^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\beta + \gamma = {180^ \circ } \\ &\beta + {126^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\beta = {180^ \circ } - {126^ \circ } \\ &\beta = {54^ \circ } \\ &{\beta _1} = \gamma \\ &{\gamma _1} = \beta = {54^ \circ }\end{aligned} \end{array}$

Пр.2) Ако су основице трапеза 4,2cm и 8,3cm, израчунати дужину

средње линије тог трапеза.

capture17 jpg

$\begin{aligned}&m = \frac{{a + b}}{2} \\ &m = \frac{{8,3 + 4,2}}{2} \\ &m = \frac{{12,5}}{2} \\ &m = 6,25cm\end{aligned}$

Пр.3) Ако је једна основица трапеза 8cm, а средња линија 11,5cm,

израчунати дужину друге основице тог трапеза.

capture17 jpg

$\begin{aligned}&m = \frac{{a + b}}{2} \\ &11,5 = \frac{{a + 8}}{2} \\ &a + 8 = 11,5 \cdot 2 \\ &a + 8 = 23 \\ &a = 15cm\end{aligned}$

Трапез је четвороугао који има један пар паралелних страница. Паралелне странице $a$ и $b$ су основице, а друге две странице су краци. Углови на истом краку дају $180^\circ$ : $\alpha + \delta = 180^\circ$ и $\beta + \gamma = 180^\circ$ , јер краци секу две паралелне праве. Зато из угла $\alpha$ одмах добијате $\delta$ , а из $\gamma$ угао $\beta$ .

Средња линија $m$ спаја средине кракова, паралелна је основицама и једнака полузбиру основица: $m = \frac{a + b}{2}$ . Ако знате $m$ и једну основицу, другу добијате као $a = 2m - b$ . Честа грешка је преписати особину паралелограма: у трапезу наспрамни углови нису једнаки.

α + δ: 180°
β + γ: 180°
Средња линија: 70 cm
(a + b) : 2: 70 cm

Темена

C

и

D

остају на истој водоравној правој, па је

DC \parallel AB

. Углови на истом краку увек дају

180^\circ

, а средња линија је увек

\frac{a + b}{2}

. Страница квадратића је 10 cm; на почетку је полица из примера.

Полице које се сужавају ка врху, мердевине са пречкама различите дужине и пресеци канала имају облик трапеза. Средња линија казује колико је дуга пречка или даска тачно на половини висине.

Полица која се сужава

Столар прави полицу за књиге чији је предњи изглед трапез: доња даска је дуга 90 cm, горња 50 cm, а коса бочна страна гради са доњом даском угао од $75^\circ$ . Тачно на половини висине треба уградити још једну даску, од једне косе стране до друге. Колико је дуга средња даска и под којим углом се коса страна спаја са горњом даском?

Решење

Даска на половини висине спаја средине косих страна, па је то средња линија трапеза.
$m = \frac{90 + 50}{2} = \frac{140}{2} = 70$ cm.
Коса страна је крак, а углови на истом краку дају $180^\circ$ : $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ .

Одговор: Средња даска је дуга 70 cm, а коса страна се са горњом даском спаја под углом од $105^\circ$ .

Задатак за вежбу

Средња линија трапеза је 9 cm, а једна основица 6,4 cm. Колика је друга основица? Ако је $\alpha = 58^\circ$ , колики је угао $\delta$ на истом краку?

Прикажи решење

$a = 2 \cdot 9 - 6{,}4 = 11{,}6$ cm, а $\delta = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$ .