Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Скуп целих бројева

Скуп целих бројева. Објашњење и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) У празан квадратић уписати један од знакова ∈,∉,⊂\in , \notin , \subset тако да тврђење буде тачно:  

           а) 6[‾]N6\left[ {\underline {} } \right]\mathbb{N}

           б) {−1,0,1}[‾]Z\left\{ { - 1,0,1} \right\}\left[ {\underline {} } \right]\mathbb{Z}

           в) −8[‾]N- 8\left[ {\underline {} } \right]\mathbb{N}

           г) 0[‾]N00\left[ {\underline {} } \right]{\mathbb{N}_0}

           д) {−6}[‾]Z−\left\{ { - 6} \right\}\left[ {\underline {} } \right]{\mathbb{Z}^ - }

Пр.2)   Одредити:

           а) N∪{0}∪Z−N \cup \left\{ 0 \right\} \cup {Z^ - }

           б) Z∩NZ \cap N

           в) Z\N0Z\backslash {N_0}

           г) Z\Z−Z\backslash {Z^ - }

           д) (Z\Z+)∩N0\left( {Z\backslash {Z^ + }} \right) \cap {N_0}

Пр.3)   Представити на бројевној правој тачке A(6),B(−3),C(2)A\left( 6 \right),B\left( { - 3} \right),C\left( 2 \right) и D(−5)D\left( { - 5} \right), а затим одредити растојање између тачака AA и DD, као и BB и CC.

Пр.4) Попуни табелу:

x6 -7 0 
-x 8   -4
|x|   3  

Пр.5)   Израчунати:

           а) ∣−12∣+∣+15∣=\left| { - 12} \right| + \left| { + 15} \right| =

           б) ∣16∣−∣−21∣:∣−3∣=\left| {16} \right| - \left| { - 21} \right|:\left| { - 3} \right| =

           в) ∣−9∣+∣−9∣⋅∣+9∣−∣−9∣:∣+9∣=\left| { - 9} \right| + \left| { - 9} \right| \cdot \left| { + 9} \right| - \left| { - 9} \right|:\left| { + 9} \right| =

Пр.6)  Решити једначине: 

          а) x=−(−6)x = - \left( { - 6} \right)

          б) −a=9- a = 9

          в) m=−(−(−7))m = - \left( { - \left( { - 7} \right)} \right)
          г) −(−k)=−76- \left( { - k} \right) = - 76

Пр.1)  а) 6∈N6 \in \mathbb{N}

           б) {−1,0,1}⊂Z\left\{ { - 1,0,1} \right\} \subset \mathbb{Z}

           в) −8∉N- 8 \notin \mathbb{N}

           г) 0∈N00 \in {\mathbb{N}_0}

           д) {−6}⊂Z−\left\{ { - 6} \right\} \subset {\mathbb{Z}^ - }

Пр.2)  а) N∪{0}∪Z−=ZN \cup \left\{ 0 \right\} \cup {Z^ - } = \mathbb{Z}

           б) Z∩N=NZ \cap N = \mathbb{N}

           в) Z\N0=Z−Z\backslash {N_0} = {\mathbb{Z}^ - }

           г) Z\Z−=N0Z\backslash {Z^ - } = {\mathbb{N}_0}

           д) (Z\Z+)∩N0=(Z−∪{0})∩N0={0}\left( {Z\backslash {Z^ + }} \right) \cap {N_0} = \left( {{\mathbb{Z}^ - } \cup \left\{ 0 \right\}} \right) \cap {\mathbb{N}_0} = \left\{ 0 \right\}

Пр.3)   545 png

Пр.4) 

x6-8 -7 3 или -304 
-x-6 8 7  -3 или 3 0-4
|x| 6 8 73 04 

Пр.5)   Израчунати:

а) ∣−12∣+∣+15∣=12+15=27\left| { - 12} \right| + \left| { + 15} \right| = 12 + 15 = 27

б) ∣16∣−∣−21∣:∣−3∣=16−21:3=16−7=9\left| {16} \right| - \left| { - 21} \right|:\left| { - 3} \right| = 16 - 21:3 = 16 - 7 = 9

в) ∣−9∣+∣−9∣⋅∣+9∣−∣−9∣:∣+9∣=9+9⋅9−9:9=9+81−1=89\left| { - 9} \right| + \left| { - 9} \right| \cdot \left| { + 9} \right| - \left| { - 9} \right|:\left| { + 9} \right| = 9 + 9 \cdot 9 - 9:9 = 9 + 81 - 1 = 89

Пр.6)  Решити једначине: 

а) x=−(−6)x = - \left( { - 6} \right)

x=6x = 6

б) −a=9- a = 9

a=−9a = - 9

в) m=−(−(−7))m = - \left( { - \left( { - 7} \right)} \right)
m=−7m = -7
г) −(−k)=−76- \left( { - k} \right) = - 76
k=−76k = - 76

Скуп целих бројева Z={…,−2,−1,0,1,2,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} чине негативни цели бројеви, нула и природни бројеви: Z=Z−∪{0}∪N\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{N}. Позитивни цели бројеви су природни, Z+=N\mathbb{Z}^+ = \mathbb{N}, па важи N⊂N0⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z}. Број је елемент скупа (−8∈Z-8 \in \mathbb{Z}, −8∉N-8 \notin \mathbb{N}), а скуп бројева је подскуп ({−1,0,1}⊂Z\{-1, 0, 1\} \subset \mathbb{Z}).

Из тих веза следе пресеци и разлике: Z∩N=N\mathbb{Z} \cap \mathbb{N} = \mathbb{N}, Z∖N0=Z−\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}_0 = \mathbb{Z}^-. Растојање две тачке на бројевној правој је збир апсолутних вредности ако су са различитих страна нуле, а разлика ако су са исте. Пазите: нула није ни позитивна ни негативна, па 0∉Z−0 \notin \mathbb{Z}^- и 0∉Z+0 \notin \mathbb{Z}^+. Супротан број и апсолутна вредност одређују се као и раније: −(−6)=6-(-6) = 6, ∣−12∣=12|-12| = 12.

UN₀N−2−101234N₀′ = {−2, −1}
Број дугмади у скупу
2
Правоугаоник UU чине сва дугмад лифта. Скуп N\mathbb{N} лежи унутар N0\mathbb{N}_0, а разлика је само нула, приземље. Ван N0\mathbb{N}_0 остају негативни бројеви, подземне гараже.

Цели бројеви означавају спратове у згради са подземном гаражом, стање рачуна у банци, гол-разлику у табели и године пре и после нове ере: свуда где постоје нула и два смера.

Лифт у тржном центру

Лифт у тржном центру има дугмад −2-2, −1-1, 00, 11, 22, 33 и 44: спратови −1-1 и −2-2 су подземне гараже, а 00 је приземље. Нека је SS скуп свих тих бројева. Одредите S∩NS \cap \mathbb{N} и S∖N0S \setminus \mathbb{N}_0. Колико спратова лифт пређе од доње гараже до највишег спрата?

Решење

  1. S={−2,−1,0,1,2,3,4}S = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Сви елементи су цели бројеви, па је S⊂ZS \subset \mathbb{Z}.
  2. Природни су само позитивни: S∩N={1,2,3,4}S \cap \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4\}, то су спратови изнад приземља.
  3. Кад из SS избацимо елементе скупа N0\mathbb{N}_0, остају негативни: S∖N0={−2,−1}=S∩Z−S \setminus \mathbb{N}_0 = \{-2, -1\} = S \cap \mathbb{Z}^-, то су гараже.
  4. Бројеви −2-2 и 44 су са различитих страна нуле, па је растојање ∣−2∣+∣4∣=2+4=6|-2| + |4| = 2 + 4 = 6.

Одговор: S∩N={1,2,3,4}S \cap \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4\}, S∖N0={−2,−1}S \setminus \mathbb{N}_0 = \{-2, -1\}, а од доње гараже до четвртог спрата лифт пређе 6 спратова.

Задатак за вежбу

Одредите скупове Z∖Z−\mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}^- и N∩Z−\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^-, као и A∩N0A \cap \mathbb{N}_0 за A={−4,0,3,−1,7}A = \{-4, 0, 3, -1, 7\}.

Прикажи решење

Z∖Z−=N0\mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}^- = \mathbb{N}_0, N∩Z−=∅\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^- = \emptyset, јер ниједан природан број није негативан, и A∩N0={0,3,7}A \cap \mathbb{N}_0 = \{0, 3, 7\}.