Конструкција троугла – други део

Објашњење и решени задаци.

Задаци

Задаци које смо решили у видео лекцији:

1. Конструисати троугао АВС ако је c = 6 cm, α = 30˚ и h_c = 3 cm.

2. Конструисати правоугли троугао АВС ако полупречник описаног круга око тог троугла износи 3 cm, а један оштар угао 75˚.

3. Конструисати једнакостранични троугао АВС ако је висина 4 cm.

4. Конструисати једнакокрако – правоугли троугао АВС чија је хипотенуза 4,3 cm.

Кад је међу задатим елементима висина или полупречник, прво нацртајте елемент који можете одмах да конструишете (страницу, угао или висину), па користите особине висине и значајних тачака. Ако је задата висина $h_c$ , теме $C$ лежи на правој паралелној са $AB$ , удаљеној $h_c$ од ње. Код правоуглог троугла центар описане кружнице је на средини хипотенузе, па је $c = 2r$ , а теме правог угла лежи на тој кружници. Једнакостранични троугао задат висином добијате кад уз висину, са обе стране, конструишете углове од $30^\circ$ . Најчешћа грешка: висина се мери по нормали на страницу, а не дуж стране троугла.

Угао α30°

Висина на AB2

AC: 4
BC: 4,06
γ: 121°

Теме

C

је увек на правој

p

паралелној са

AB

, удаљеној

h_c

од ње, и на краку угла

\alpha

. За

\alpha = 30^\circ

и

h_c = 2

очитајте

AC = 4

, као на плану из примера. Смањујте угао

\alpha

: теме

C

се удаљава од

A

.

Овако се у размери црта план троугаоне парцеле кад су познати дужина међе уз пут, угао код једног темена и удаљеност трећег темена од пута: остале стране се онда измере на плану.

План плаца уз пут

Плац облика троугла $ABC$ лежи уз прав пут. Страна $AB$ уз пут дугачка је 70 m, угао код темена $A$ је $30^\circ$ , а теме $C$ је 20 m удаљено од пута. Геометар црта план у размери $1 : 1000$ . Колико је дугачка страна $AC$ ?

Решење

У размери $1 : 1000$ је $c = AB = 7$ cm и $h_c = 2$ cm, а $\alpha = 30^\circ$ .
Нацртамо $AB = 7$ cm и у темену $A$ конструишемо угао од $30^\circ$ , као половину угла од $60^\circ$ .
Теме $C$ је 2 cm од праве $AB$ , па лежи на правој $p$ паралелној са $AB$ , на растојању 2 cm. Пресек праве $p$ и крака угла је теме $C$ .
Измеримо на цртежу дуж $AC$ : $AC = 4$ cm.

Одговор: Страна $AC$ на плану је 4 cm, а у стварности $4 \cdot 1000 = 4000$ cm, то јест 40 m.

Задатак за вежбу

Конструишите једнакокрако-правоугли троугао $ABC$ са хипотенузом $AB = 6$ cm. Колика је висина која одговара хипотенузи?

Прикажи решење

Теме $C$ лежи на кружници над хипотенузом, са центром $O$ у средини дужи $AB$ и $r = 3$ cm, и на симетрали дужи $AB$ . Зато је $h_c = OC = r = 3$ cm.