Конструкција паралелограма 2

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Конструисати паралелограм $ABCD$ ако је $a = 5cm$ ,

$\beta = {120^ \circ }$ и ${h_a} = 3cm$ .

Пр.2) Конструисати ромб $ABCD$ чија је дијагонала дужине

8cm, а висина 3cm.

Пр.3) Конструисати правоугаоник $ABCD$ ако је полупречник

описане кружнице око тог правоугаоника 4cm, a

дијагонала гради угао од ${60^ \circ }$ са једном од

страница правоугаоника.

Кад је међу подацима висина, конструкција почиње од две паралелне праве. Нацртајте $AB = a$ и праву $p$ паралелну са $AB$ на растојању $h_a$ : темена $C$ и $D$ морају лежати на њој. Крак угла $\alpha$ из темена $A$ сече праву $p$ у темену $D$ ; ако је дат тупи угао $\beta$ , конструишите $\alpha = 180^\circ - \beta$ .

Ромб из дијагонале и висине: лук из $A$ са полупречником дијагонале сече $p$ у $C$ , а $B$ и $D$ су пресеци симетрале дужи $AC$ са те две паралелне праве, јер се дијагонале ромба полове под правим углом. Код правоугаоника су дијагонале пречници описане кружнице. Корисно: ако је $\alpha = 30^\circ$ , онда је $b = 2h_a$ .

Страница a7 cm

Висина hₐ3 cm

Угао α30°

Страница b = AD: 6 cm
AD : hₐ: 2
Тупи угао β: 150°

Теме

D

увек лежи на правој

p

, паралелној са

AB

на растојању

h_a

. При

\alpha = 30^\circ

страница

AD

је тачно двоструко дужа од висине, као у шаблону из примера.

Висина је растојање између паралелних страница. Зато столари и молери, кад праве шаблон за косу плочицу или исцртавају косе траке на зиду, прво повуку паралелне линије на датом растојању, па тек онда косе ивице.

Шаблон за мозаик

Ученица прави картонски шаблон за плочицу мозаика у облику паралелограма. Дужа страница је $a = 7$ cm, растојање између дужих страница је $h_a = 3$ cm, а тупи угао је $\beta = 150^\circ$ . Како да конструише шаблон и колика ће бити друга страница?

Решење

Оштри угао је $\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ ; конструише се као половина угла од $60^\circ$ .
Нацрта $AB = 7$ cm и праву $p$ паралелну са $AB$ на растојању 3 cm.
Крак угла од $30^\circ$ из темена $A$ сече праву $p$ у темену $D$ ; на $p$ од $D$ нанесе 7 cm у смеру од $A$ ка $B$ и добије $C$ .
Висина из $D$ , страница $AD$ и део странице $AB$ граде половину једнакостраничног троугла странице $AD$ , па је $AD = 2 \cdot 3 = 6$ cm.

Одговор: Шаблон има странице 7 cm и 6 cm и углове од $30^\circ$ и $150^\circ$ .

Задатак за вежбу

Полупречник кружнице описане око правоугаоника је 5 cm, а дијагонала гради са дужом страницом угао од $30^\circ$ . Колика је дијагонала, а колика краћа страница?

Прикажи решење

Дијагонале су пречници описане кружнице: $d = 2 \cdot 5 = 10$ cm. Са краћом страницом дијагонала гради $60^\circ$ , па је троугао од краће странице и две половине дијагонала једнакостраничан: краћа страница је 5 cm.