Троугао – понављање градива

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Дати су углови троугла $\alpha = {82^ \circ }$ и $\beta = {44^ \circ }$.

           Одредити: а) углове $\gamma ,{\alpha _1},{\beta _1}$ и ${\gamma _1}$

                            б) угао који граде симетрале $\beta$ и $\gamma$

                            в) угао који граде симетрале углова ${\beta _1}$ и ${\gamma _1}$

                            г) пређати странице по величини

Пр.2)   Којој врсти припада троугао ако је:

           а) један његов угао ${25^ \circ }$ а други ${55^ \circ }$

           б) спољашњи угао једнак одговарајућем унутрашњем

           в) унутрашњи угао два пута већи од одговарајућег спољашњег

Пр.3)   Одредити обим једнакокраког троугла ако су његове странице

           2,5cm и 5cm.

Пр.4)   Један оштар угао правоуглог троугла је $\frac{2}{5}$ правог угла.

           Одредити меру оштрих углова тог правоуглог троугла.

Пр.5)   Симетрала крака $BC$ једнакокраког троугла $ABC$ сече

           други крак у тачки $M$ и праву $AB$ у тачки $E$. Ако је

           угао при врху ${54^ \circ }$, израчунати углове $\vartriangle MEA$.

Пр.1)   Дати су углови троугла $\alpha = {82^ \circ }$ и $\beta = {44^ \circ }$.

а)

$$\begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ } \\ &{82^ \circ } + {44^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \\ &\gamma = {180^ \circ } - {126^ \circ } \\ &\underline {\gamma = {{54}^ \circ }} \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - {82^ \circ } \\ &\underline {{\alpha _1} = {{98}^ \circ }} \\ &\beta + {\beta _1} = {180^ \circ } \\ &{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \\ &{\beta _1} = {180^ \circ } - {44^ \circ } \\ &\underline {{\beta _1} = {{136}^ \circ }} \\ &\gamma + {\gamma _1} = {180^ \circ } \\ &{\gamma _1} = {180^ \circ } - \gamma \\ &{\gamma _1} = {180^ \circ } - {54^ \circ } \\ &\underline {{\gamma _1} = {{126}^ \circ }}\end{aligned}$$

б) 

$$\begin{aligned}&\frac{\beta }{2} + \frac{\gamma }{2} + x = {180^ \circ } \\ &{22^ \circ } + {27^ \circ } + x = {180^ \circ } \\ &x = {180^ \circ } - {49^ \circ } \\ &\underline {\gamma = {{131}^ \circ }}\end{aligned}$$

в)

$$\begin{aligned}&\frac{{{\beta _1}}}{2} + \frac{{{\gamma _1}}}{2} + x = {180^ \circ } \\ &{63^ \circ } + {68^ \circ } + x = {180^ \circ } \\ &\gamma = {180^ \circ } - {131^ \circ } \\ &\underline {\gamma = {{49}^ \circ }}\end{aligned}$$

г) $\beta < \gamma < \alpha \Rightarrow b < c < a$

Пр.2)  а)

$$\begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ } \\ &{25^ \circ } + {45^ \circ } + x = {180^ \circ } \\ &\gamma = {180^ \circ } - {80^ \circ } \\ &\underline {\gamma = {{100}^ \circ }}\end{aligned}$$

тупоугли

б) 

$$\begin{aligned}&\alpha = {\alpha _1} \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha + \alpha = {180^ \circ } \\ &2\alpha = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ }:2 \\ &\alpha = {90^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \alpha = {90^ \circ }\end{aligned}$$

правоугли

в) 

$$\begin{aligned}&\alpha = 2{\alpha _1} \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &2{\alpha _1} + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &3{\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {60^ \circ } \\ &\alpha = 2 \cdot {60^ \circ } \\ &\alpha = {120^ \circ }\end{aligned}$$

тупоугли

Пр.3)

1 случај: $a = 5;b = 2,5$

$$\begin{aligned}&a < b + b \\ &5 < 2,5 + 2,5 \\ &5 < 5 \bot\end{aligned}$$

2 случај: $a = 2,5;b = 5$

$$\begin{aligned}&O = a + b + b \\ &O = 2,5 + 5 + 5 \\ &O = 12,5cm\end{aligned}$$

Пр.4)   

$$\begin{aligned}&\alpha = \frac{2}{5} \cdot {90^ \circ } = {36^ \circ } \\ &\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &{36^ \circ } + \beta = {180^ \circ } \\ &\beta = {180^ \circ } - {36^ \circ } \\ &\beta = {54^ \circ }\end{aligned}$$

Пр.5)

$$\begin{aligned}&\vartriangle ABC \\ &\alpha + \alpha + {54^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2\alpha + {54^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2\alpha = {180^ \circ } - {54^ \circ } \\ &\alpha = {126^ \circ }:2 \\ &\alpha = {63^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \alpha + {54^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {63^ \circ } + {54^ \circ } = {117^ \circ } \\ &{90^ \circ } + {54^ \circ } + x = {180^ \circ } \\ &x = {180^ \circ } - {144^ \circ } \\ &x = {36^ \circ } \\ &\vartriangle MEA \\ &x + {\alpha _1} + y = {180^ \circ } \\ &{36^ \circ } + {117^ \circ } + y = {180^ \circ } \\ &y = {180^ \circ } - {153^ \circ } = {27^ \circ }\end{aligned}$$