Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Четвороугао – понављање градива

Решени задаци. Припрема за проверу знања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове конвексног

           четвороугла, ако два унутрашња износе 106∘{106^ \circ } и 59∘{59^ \circ },

           а један спољашњи износи 117∘{117^ \circ }.

Пр.2)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове

           паралелограма, ако је један унутрашњи угао 121∘{121^ \circ }.

Пр.3)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове трапиза,

           ако два унутрашња износе 106∘{106^ \circ } и 59∘{59^ \circ }.

Пр.4)   Израчунати унутрашње углове ромба ако је један угао за 30∘{30^ \circ }   

           већи од другог.

Пр.5)   Израчунати унутрашње углове једнакокраког трапеза ако је један

            угао три пута већи од другог.

Пр.1)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове конвексног

           четвороугла, ако два унутрашња износе 106∘{106^ \circ } и 59∘{59^ \circ },

           а један спољашњи износи 117∘{117^ \circ }.

capture35 jpg

β=59∘\beta = {59^ \circ }

γ=106∘\gamma = {106^ \circ }

α1=117∘{\alpha _1} = {117^ \circ }

α+α1=180∘α+117∘=180∘α=180∘−117∘α=63∘β+β1=180∘59∘+β1=180∘β1=180∘−59∘β1=121∘γ+γ1=180∘106∘+γ1=180∘γ1=180∘−106∘γ1=74∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha + {117^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {117^ \circ } \\ &\alpha = {63^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\beta + {\beta _1} = {180^ \circ } \\ &{59^ \circ } + {\beta _1} = {180^ \circ } \\ &{\beta _1} = {180^ \circ } - {59^ \circ } \\ &{\beta _1} = {121^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\gamma + {\gamma _1} = {180^ \circ } \\ &{106^ \circ } + {\gamma _1} = {180^ \circ } \\ &{\gamma _1} = {180^ \circ } - {106^ \circ } \\ &{\gamma _1} = {74^ \circ }\end{aligned} \end{array}

α+β+γ+δ=360∘63∘+59∘+106∘+δ=360∘228∘+δ=360∘δ=132∘δ+δ1=180∘132∘+δ1=180∘δ1=180∘−132∘δ1=48∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \\ &{63^ \circ } + {59^ \circ } + {106^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \\ &{228^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \\ &\delta = {132^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\delta + {\delta _1} = {180^ \circ } \\ &{132^ \circ } + {\delta _1} = {180^ \circ } \\ &{\delta _1} = {180^ \circ } - {132^ \circ } \\ &{\delta _1} = {48^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.2)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове

           паралелограма, ако је један унутрашњи угао 121∘{121^ \circ }.

capture36 jpg

β=121∘\beta = {121^ \circ }

β=δ=α1=γ1\beta = \delta = {\alpha _1} = {\gamma _1}

δ=α1=γ1=121∘\delta = {\alpha _1} = {\gamma _1} = {121^ \circ }

α+β=180∘α+121∘=180∘α=180∘−121∘α=59∘\begin{aligned}&\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\alpha + {121^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {121^ \circ } \\ &\alpha = {59^ \circ }\end{aligned}

α=β1=δ1=γ\alpha = {\beta _1} = {\delta _1} = \gamma

β1=δ1=γ=59∘{\beta _1} = {\delta _1} = \gamma = {59^ \circ }

Пр.3)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове трапиза,

           ако два унутрашња износе 106∘{106^ \circ } и 59∘{59^ \circ }.

capture16 jpg

δ=106∘β=59∘α+δ=180∘α+106∘=180∘α=180∘−106∘α=74∘β+γ=180∘59∘+γ=180∘γ=180∘−59∘γ=121∘α=δ1δ1=74∘δ=α1α1=106∘γ1=βγ1=59∘β1=γβ1=121∘\begin{aligned}&\delta = {106^ \circ } \\ &\beta = {59^ \circ } \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &\alpha + {106^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {106^ \circ } \\ &\alpha = {74^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\beta + \gamma = {180^ \circ } \\ &{59^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \\ &\gamma = {180^ \circ } - {59^ \circ } \\ &\gamma = {121^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha = {\delta _1} \\ &{\delta _1} = {74^ \circ } \\ &\delta = {\alpha _1} \\ &{\alpha _1} = {106^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\gamma _1} = \beta \\ &{\gamma _1} = {59^ \circ } \\ &{\beta _1} = \gamma \\ &{\beta _1} = {121^ \circ }\end{aligned} \end{array}\end{aligned}

Пр.4)   Израчунати унутрашње углове ромба ако је један угао за 30∘{30^ \circ }   

           већи од другог.

capture37 jpg

β=α+30∘α+β=180∘α+α+30∘=180∘2α=180∘−30∘2α=150∘α=75γ=α=75∘β=75∘+30∘β=105∘δ=βδ=105∘\begin{aligned}&\beta = \alpha + {30^ \circ } \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\alpha + \alpha + {30^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2\alpha = {180^ \circ } - {30^ \circ } \\ &2\alpha = {150^ \circ } \\ &\alpha = 75\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\gamma = \alpha = {75^ \circ } \\ &\beta = {75^ \circ } + {30^ \circ } \\ &\beta = {105^ \circ } \\ &\delta = \beta \\ &\delta = {105^ \circ }\end{aligned} \end{array}\end{aligned}

Пр.5)   Израчунати унутрашње углове једнакокраког трапеза ако је један

            угао три пута већи од другог.

capture38 jpg

δ=3αα+δ=180∘α+3α=180∘4α=180∘α=45∘α=75β=α=45∘δ=3⋅45∘δ=135∘γ=δγ=135∘\begin{aligned}&\delta = 3\alpha \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &\alpha + 3\alpha = {180^ \circ } \\ &4\alpha = {180^ \circ } \\ &\alpha = {45^ \circ } \\ &\alpha = 75\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\beta = \alpha = {45^ \circ } \\ &\delta = 3 \cdot {45^ \circ } \\ &\delta = {135^ \circ } \\ &\gamma = \delta \\ &\gamma = {135^ \circ }\end{aligned} \end{array}\end{aligned}

Збир унутрашњих углова сваког конвексног четвороугла је 360∘360^\circ, а збир спољашњих такође 360∘360^\circ. Унутрашњи и спољашњи угао код истог темена дају 180∘180^\circ, па из једног одмах добијате други.

Паралелограм и ромб: наспрамни углови су једнаки, а суседни дају 180∘180^\circ. Трапез: углови на истом краку дају 180∘180^\circ, а једнакокраки трапез има и једнаке углове на истој основици. Кад је један угао за неколико степени или неколико пута већи од другог, из збира суседних углова поставите једначину, на пример α+(α+30∘)=180∘\alpha + (\alpha + 30^\circ) = 180^\circ или α+3α=180∘\alpha + 3\alpha = 180^\circ. На крају увек проверите да ли је збир свих углова 360∘360^\circ.

α = 82°β = 98°γ = 82°δ = 98°α₁β₁γ₁δ₁ABCD
α + β + γ + δ
360°
α₁ + β₁ + γ₁ + δ₁
360°
Углови се мењају, али док је четвороугао конвексан, и унутрашњи и спољашњи углови увек дају 360∘360^\circ. На почетку је плац из примера, паралелограм са угловима од 82∘82^\circ и 98∘98^\circ.

Геометри и грађевинци мере углове плаца или темеља: из збира од 360∘360^\circ проверавају да ли су мерења тачна, а из збира од 180∘180^\circ два суседна угла да ли су две стране паралелне.

Мерење плаца

Геометар мери плац у облику четвороугла ABCDABCD у Јагодини. Унутрашњи угао код темена AA је 82∘82^\circ, код темена BB је 98∘98^\circ, а спољашњи угао код темена CC је 98∘98^\circ. Колики су остали унутрашњи и спољашњи углови и какав облик има плац?

Решење

  1. Унутрашњи угао код CC: γ=180∘−98∘=82∘\gamma = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ.
  2. Из збира углова: δ=360∘−82∘−98∘−82∘=98∘\delta = 360^\circ - 82^\circ - 98^\circ - 82^\circ = 98^\circ.
  3. Спољашњи углови: α1=98∘\alpha_1 = 98^\circ, β1=82∘\beta_1 = 82^\circ, γ1=98∘\gamma_1 = 98^\circ и δ1=82∘\delta_1 = 82^\circ; заједно дају 360∘360^\circ.
  4. Пошто је α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ и β+γ=180∘\beta + \gamma = 180^\circ, наспрамне стране плаца су паралелне: плац је паралелограм.

Одговор: Унутрашњи углови плаца су 82∘82^\circ, 98∘98^\circ, 82∘82^\circ и 98∘98^\circ, спољашњи 98∘98^\circ, 82∘82^\circ, 98∘98^\circ и 82∘82^\circ, а плац има облик паралелограма.

Задатак за вежбу

Израчунајте унутрашње углове једнакокраког трапеза ако је један његов угао четири пута већи од другог.

Прикажи решење

Различити углови леже на истом краку: α+4α=180∘\alpha + 4\alpha = 180^\circ, па је α=36∘\alpha = 36^\circ. Углови су α=β=36∘\alpha = \beta = 36^\circ и γ=δ=144∘\gamma = \delta = 144^\circ.