Углови троугла 3

Решени задаци, сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Један унутрашњи угао троугла је дупло мањи од другог, а тећи представља пловину збира прва два. Израчунати унутрашње углове тог троугла.

Пр.2) Ако су два унутрашња угла троугла ${48^ \circ }$ и ${77^ \circ }$ , израчунати под којим углом се секу њихове симетрале.

Пр.3) Израчунати унутрашњи угао $\alpha$ , ако симетрале углова $\beta$ и $\gamma$ секу под углом од ${114^ \circ }30'$ .

Пр.4) Према подацима са слике одредити непознати угао $x$ .

552 png

Пр.1)

$beta = 2\alpha$
$\gamma = \frac{{\alpha + \beta }}{2} = \frac{{\alpha + 2\alpha }}{2} = \frac{{3\alpha }}{2}$
$\alpha + \beta + \gamma = {180^\circ }$
$\alpha + 2\alpha + \frac{{3\alpha }}{2} = {180^\circ }$
$\frac{{2\alpha }}{2} + \frac{{4\alpha }}{2} + \frac{{3\alpha }}{2} = {180^\circ }$
$\frac{{9\alpha }}{2} = {180^\circ } \cdot 2$
$9\alpha = {360^\circ }$
$\alpha = {40^\circ }$
$\beta = {80^ \circ }$
$\gamma = {60^ \circ }$

Пр.2)

550 png

$\frac{\alpha }{2} + \frac{\beta }{2} + x = {180^ \circ }$
$\frac{{{{48}^ \circ }}}{2} + \frac{{{{77}^ \circ }}}{2} + x = {180^ \circ }$
${24^ \circ } + {38^ \circ }30' + x = {180^ \circ }$
${62^ \circ }30' + x = {180^ \circ }$
$x = {180^ \circ } - {62^ \circ }30'$
$x = {117^ \circ }30'$

Пр.3)

551 png

$\frac{\gamma }{2} + \frac{\beta }{2} + {114^ \circ }30' = {180^ \circ }$
$\frac{{\gamma + \beta }}{2} + {114^ \circ }30' = {180^ \circ }$
$\frac{{\gamma + \beta }}{2} = {65^ \circ }30'$
$\gamma + \beta = {65^ \circ }30' \cdot 2$
$\gamma + \beta = {131^ \circ }$
$\alpha + \gamma + \beta = {180^ \circ }$
$\alpha + {131^ \circ } = {180^ \circ }$
$\alpha = {49^ \circ }$

Пр.4) Према подацима са слике одредити непознати угао $x$ .

553 png

У трећем делу углови се рачунају уз симетрале и спољашње углове. Симетрала дели угао на две једнаке половине. Симетрале углова $\alpha$ и $\beta$ секу се у тачки $S$ , а угао $x = \measuredangle ASB$ налази се из троугла $ABS$ : $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + x = 180^\circ$ . Одатле увек следи $x = 90^\circ + \frac{\gamma}{2}$ , па се из угла између симетрала може наћи и трећи угао.

Кад су углови задати односом, на пример „један је двоструко мањи од другог, а трећи је половина њиховог збира“, изразите све преко једног угла: $\alpha + 2\alpha + \frac{3\alpha}{2} = 180^\circ$ , па је $\alpha = 40^\circ$ . На сложеним сликама тражите троугао у ком је непознати угао спољашњи: он је једнак збиру два несуседна унутрашња угла.

x = ∢ASB: 123°
90° + γ/2: 123°

Угао

\measuredangle ASB

између симетрала увек је

90^\circ + \frac{\gamma}{2}

, дакле туп. Укључите кружницу: тачка

S

једнако је удаљена од све три странице.

Тачка у којој се секу симетрале углова једнако је удаљена од све три странице троугла, па се ту поставља прскалица у троугластом травњаку или стуб расвете на троугластом тргу.

Прскалица у травњаку

Травњак има облик троугла $ABC$ са угловима $\alpha = 64^\circ$ и $\beta = 50^\circ$ . Прскалица се поставља у тачку $S$ у којој се секу симетрале углова $\alpha$ и $\beta$ , да би била једнако удаљена од све три ивице. Колики је угао $\measuredangle ASB$ између тих симетрала?

Решење

Симетрале деле углове на пола: $\frac{\alpha}{2} = 32^\circ$ и $\frac{\beta}{2} = 25^\circ$ .
У троуглу $ABS$ збир углова је $180^\circ$ : $32^\circ + 25^\circ + x = 180^\circ$ .
Одатле је $x = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ$ .
Провера: $\gamma = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$ , а $90^\circ + \frac{66^\circ}{2} = 123^\circ$ .

Одговор: Симетрале се у тачки прскалице секу под углом $\measuredangle ASB = 123^\circ$ .

Задатак за вежбу

Симетрале углова $\beta$ и $\gamma$ троугла $ABC$ секу се у тачки $S$ , а $\measuredangle BSC = 121^\circ$ . Колики је угао $\alpha$ ?

Прикажи решење

$\frac{\beta + \gamma}{2} = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$ , па је $\beta + \gamma = 118^\circ$ и $\alpha = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$ .