Делтоид

Дефиниције, особине, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Израчунати унутрашње углове делтоида ако једнаке странице

граде углове од ${44^ \circ }$ и ${114^ \circ }$ .

Пр.2) Ако једна дијагонала дели делтоид на једнакостраничан и

једнакокраки троугао са углом при врху од ${48^ \circ }$ ,

израчунати све унутрашње углове тог делтоида.

Пр.3) Узастопни углови детоида су ${122^ \circ }$ и ${78^ \circ }$ .

Израчунати преостала два унутрашња угла тог делтоида.

Пр.4) Израчунати мере свих унутрашњих углова делтоида.

capture33 jpg

Пр.1) Израчунати унутрашње углове делтоида ако једнаке странице

граде углове од ${44^ \circ }$ и ${114^ \circ }$ .

capture29 jpg

$\begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \\ &\alpha = \gamma \\ &2\alpha + \beta + \delta = {360^ \circ } \\ &2\alpha + {44^ \circ } + {114^ \circ } = {360^ \circ } \\ &2\alpha = {360^ \circ } - {44^ \circ } - {114^ \circ } \\ &2\alpha = {202^ \circ } \\ &\alpha = {101^ \circ }\end{aligned}$

Пр.2) Ако једна дијагонала дели делтоид на једнакостраничан и

једнакокраки троугао са углом при врху од ${48^ \circ }$ ,

израчунати све унутрашње углове тог делтоида.

capture30 jpg

$\begin{aligned}&x + x + {48^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2x + {48^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2x = {180^ \circ } - {48^ \circ } \\ &2x = {132^ \circ } \\ &x = {66^ \circ } \\ &\alpha = x + {60^ \circ } \\ &\alpha = {66^ \circ } + {60^ \circ } \\ &\alpha = {126^ \circ } \\ &\gamma = \alpha \\ &\gamma = {126^ \circ } \\ &\beta = {48^ \circ } \\ &\delta = {60^ \circ }\end{aligned}$

Пр.3) Узастопни углови детоида су ${122^ \circ }$ и ${78^ \circ }$ .

Израчунати преостала два унутрашња угла тог делтоида.

1)

capture31 jpg

$\begin{aligned}&\alpha = {122^ \circ } \\ &\gamma = \alpha \\ &\gamma = {122^ \circ } \\ &\beta = {78^ \circ } \\ &\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \\ &{122^ \circ } + {78^ \circ } + {122^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \\ &\delta = {360^ \circ } - {322^ \circ } \\ &\delta = {38^ \circ }\end{aligned}$

2)

capture32 jpg

$\begin{aligned}&\alpha = {78^ \circ } \\ &\gamma = \alpha \\ &\gamma = {78^ \circ } \\ &\beta = {122^ \circ } \\ &\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \\ &{78^ \circ } + {122^ \circ } + {78^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \\ &\delta = {360^ \circ } - {278^ \circ } \\ &\delta = {82^ \circ }\end{aligned}$

Пр.4) Израчунати мере свих унутрашњих углова делтоида.

capture34 jpg

$\begin{aligned}&\beta = 2 \cdot {32^ \circ } \\ &\beta = {64^ \circ } \\ &\delta = 2 \cdot {48^ \circ } \\ &\delta = {96^ \circ } \\ &\alpha + \beta + \gamma + {96^ \circ } = {360^ \circ } \\ &\alpha + {64^ \circ } + {\gamma ^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \\ &\alpha = \gamma \\ &2\alpha = {360^ \circ } - {160^ \circ } \\ &2\alpha = {200^ \circ } \\ &\alpha = {100^ \circ } \\ &\gamma = {100^ \circ }\end{aligned}$

Делтоид је четвороугао са два пара једнаких суседних страница: $AB = BC$ и $AD = DC$ . Дијагонала $BD$ , која спаја темена у којима се састају једнаке странице, оса је симетрије делтоида. Она полови углове $\beta$ и $\delta$ и другу дијагоналу, а дијагонале су нормалне.

Због симетрије је $\alpha = \gamma$ , па из збира углова следи $2\alpha + \beta + \delta = 360^\circ$ . Ако знате углове које дијагонала $BD$ гради са страницама, удвостручите их и добијате $\beta$ и $\delta$ . Пазите: ако су дата два суседна угла, а не зна се који од њих лежи на оси симетрије, задатак има два решења, па размотрите оба.

α + β + γ + δ: 360°
AS: 2,5
SC: 2,5

Теме

C

је увек симетрично темену

A

у односу на дијагоналу

BD

, па је

\alpha = \gamma

, а дијагонале се секу под правим углом. На почетку је змај из примера.

Змај од папира најчешће има облик делтоида: дужа летвица је оса симетрије, а краћа је нормална на њу. Исти облик имају и многи привесци и украсне плочице.

Змај од летвица

Нина прави змаја у облику делтоида $ABCD$ . Дужа летвица $BD$ је оса симетрије; она гради са дужим страницама, које се састају у доњем темену $B$ , углове од $25^\circ$ , а са краћим страницама, које се састају у горњем темену $D$ , углове од $55^\circ$ . Колики су углови змаја?

Решење

Оса симетрије $BD$ полови углове $\beta$ и $\delta$ : $\beta = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$ и $\delta = 2 \cdot 55^\circ = 110^\circ$ .
Темена $A$ и $C$ су симетрична у односу на $BD$ , па је $\alpha = \gamma$ .
Из збира углова: $2\alpha + 50^\circ + 110^\circ = 360^\circ$ , па је $2\alpha = 200^\circ$ и $\alpha = 100^\circ$ .

Одговор: Змај има угао од $50^\circ$ доле, $110^\circ$ горе и по $100^\circ$ на бочним теменима.

Задатак за вежбу

Дијагонала $AC$ дели делтоид $ABCD$ на једнакостранични троугао $ACD$ и једнакокраки троугао $ABC$ са углом при врху $B$ од $40^\circ$ . Израчунајте унутрашње углове делтоида.

Прикажи решење

У троуглу $ABC$ углови на основици су $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$ , а у троуглу $ACD$ сви углови су $60^\circ$ . Зато је $\alpha = \gamma = 70^\circ + 60^\circ = 130^\circ$ , $\beta = 40^\circ$ и $\delta = 60^\circ$ .