Значајне тачке троугла – понављање градива

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

1. Висина која одговара хипотенузи правоуглог троугла гради са једном катетом угао од 27˚. Одредити оштре углове тог троугла.

2. Висина која одговара основици једнакокраког троугла је 1,5 dm. Израчунати удаљеност врха тог троугла од тежишта троугла.

3. Дат је једнакокраки троугао АВС са основицом АВ. Висина која одговара краку ВС гради угао од 37˚ 15’ са:

(а) основицом АВ                 (б) краком АС.

Израчунати унутрашње углове троугла АВС.

4. Полупречник круга описаног око једнакостраничног троугла је 2 cm. Израчунати полупречник уписаног круга. Колика је дужина висине тог троугла?

1.

$\beta + {27^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ } $
$\beta = {180^ \circ } - {117^ \circ } $
$\beta = {63^ \circ } $
$\alpha + \beta = {90^ \circ } $
$\alpha + {63^ \circ } = {90^ \circ } $
$\alpha = {90^ \circ } - {63^ \circ } $
$\alpha = {27^ \circ } $

2. 

\[\begin{gathered}
{h_a} = {t_a} = 1,5dm \hfill \\
CT = \frac{2}{3}{t_a} \hfill \\
CT = \frac{2}{3}1,5dm \hfill \\
CT = 1dm \hfill \\
\end{gathered} \]

3. 

a)

$\alpha + {90^ \circ } + {37^ \circ }15' = {180^ \circ } $
$\alpha + {127^ \circ }15' = {180^ \circ } $
$\alpha = {180^ \circ } - {127^ \circ }15' $
$\alpha = {52^ \circ }45'$ 
$\alpha  + \alpha  + \gamma  = {180^ \circ }$

${52^ \circ }45' + {52^ \circ }45' + \gamma  = {180^ \circ }$

${105^ \circ }30' + \gamma  = {180^ \circ }$

$\gamma  = {180^ \circ } - {105^ \circ }30'$

$\gamma  = {74^ \circ }30'$

b)

$\gamma  + {90^ \circ } + {37^ \circ }15' = {180^ \circ }$

$\gamma  + {127^ \circ }15' = {180^ \circ }$

$\gamma  = {180^ \circ } - {127^ \circ }15'$

$\gamma  = {52^ \circ }45'$

$\alpha  + \alpha  + \gamma  = {180^ \circ }$

$\alpha  + \alpha  + {52^ \circ }45' = {180^ \circ }$

$2\alpha  + {52^ \circ }45' = {180^ \circ }$

$2\alpha  = {180^ \circ } - {52^ \circ }45'$

$\alpha  = {127^ \circ }15':2$

$\alpha  = {63^ \circ }37'30''$

4. 

\[\begin{gathered}
{r_o} + {r_u} = {t_a} \hfill \\
{r_o} + {r_u} = {h_a} \hfill \\
{r_o} = \frac{2}{3}{t_a} \hfill \\
2 = \frac{2}{3}{t_a} \hfill \\
2 = \frac{2}{3}{h_a} \hfill \\
{h_a} = 2:\frac{2}{3} \hfill \\
{h_a} = 2 \cdot \frac{3}{2} \hfill \\
{h_a} = 3 \hfill \\
{t_a} = 3 \hfill \\
{r_u} = \frac{1}{3}{t_a} \hfill \\
{r_u} = \frac{1}{3} \cdot 3 \hfill \\
{r_u} = 1cm \hfill \\
\end{gathered} \]