Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Једнакокраки и првавоугли трапез 2

Једнакокраки и правоугли трапез – примена. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Један унутрашњи угао трапеза је 67∘{67^ \circ }. Израчунати преостале

           унутрашње и спољашње углове, ако је трапез:

           а) једнакокраки

           б) правоугли.

Пр.2)   Продужетци кракова трапеза се секу под уголом 43∘{43^ \circ }. Израчунати

           све унутрашње углове тог трпеза ако је он:

           а) једнакокраки

           б) правоугли.

Пр.3)   Правоугли трапез је једном дијагоналом подељен на два троугла

           - правоугли  и  једнакостранички чија је страница 10cm.

            Израчунати средњеу линија тог трапеза.

Пр.4)   Израчунати обим јендакокракок трапеза, ако је:

           а) један унутрашњи угао 60∘{60^ \circ }, а основеице 10cm и 4cm

           б) један унутрашњи угао 30∘{30^ \circ }, средња линија 10cm и висина

               трапеза 4cm.

Пр.5)   Израчунати висину правоуглог трапза ако су основице 17cm и

            11cm, а један унутрашњи угао 135∘{135^ \circ }.

Пр.1)   Један унутрашњи угао трапеза је 67∘{67^ \circ }. Израчунати преостале

           унутрашње и спољашње углове, ако је трапез:

           а) једнакокраки

capture20 jpg

α=β=67∘α+δ=180∘67∘+δ=180∘δ=180∘−67∘δ=113∘γ=δ=113∘α1=δ=113∘δ1=α=67∘β1=γ=113∘γ1=β=67∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha = \beta = {67^ \circ } \\ &\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &{67^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \\ &\delta = {180^ \circ } - {67^ \circ } \\ &\delta = {113^ \circ } \\ &\gamma = \delta = {113^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\alpha _1} = \delta = {113^ \circ } \\ &{\delta _1} = \alpha = {67^ \circ } \\ &{\beta _1} = \gamma = {113^ \circ } \\ &{\gamma _1} = \beta = {67^ \circ }\end{aligned} \end{array}

           б) правоугли.

capture21 jpg

α=67∘α+δ=180∘67∘+δ=180∘δ=180∘−67∘δ=113∘α1=δ=113∘δ1=α=67∘β=90∘γ=90∘β1=90∘γ1=90∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha = {67^ \circ } \\ &\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &{67^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \\ &\delta = {180^ \circ } - {67^ \circ } \\ &\delta = {113^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&{\alpha _1} = \delta = {113^ \circ } \\ &{\delta _1} = \alpha = {67^ \circ } \\ &\beta = {90^ \circ } \\ &\gamma = {90^ \circ } \\ &{\beta _1} = {90^ \circ } \\ &{\gamma _1} = {90^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.2)   Продужетци кракова трапеза се секу под уголом 43∘{43^ \circ }. Израчунати

           све унутрашње углове тог трпеза ако је он:

           а) једнакокраки

capture22 jpg

 △EDC\vartriangle EDC - једнакокраки

α+β+43∘=180∘\alpha + \beta + {43^ \circ } = {180^ \circ }

α=β\alpha = \beta

2α=180∘2\alpha = {180^ \circ }

2α=180∘−43∘2\alpha = {180^ \circ } - {43^ \circ }

2α=137∘2\alpha = {137^ \circ }

α=68∘30′\alpha = {68^ \circ }30'

β=α=68∘30′\beta = \alpha = {68^ \circ }30'

β=α=68∘30′\beta = \alpha = {68^ \circ }30'

α+δ=180∘\alpha + \delta = {180^ \circ }

68∘30′+δ=180∘{68^ \circ }30' + \delta = {180^ \circ }

δ=180∘−68∘30′\delta = {180^ \circ } - {68^ \circ }30'

δ=111∘30′\delta = {111^ \circ }30'

γ=δ=111∘30′\gamma = \delta = {111^ \circ }30' 

           б) правоугли.

capture23 jpg

 △EDC\vartriangle EDC - правоугли.

α+90∘+43∘=180∘α=180∘−133∘α=47∘α+δ=180∘47∘+δ=180∘δ=180∘−47∘δ=133∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha + {90^ \circ } + {43^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {133^ \circ } \\ &\alpha = {47^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &{47^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \\ &\delta = {180^ \circ } - {47^ \circ } \\ &\delta = {133^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.3)   Правоугли трапез је једном дијагоналом подељен на два троугла

           - правоугли  и  једнакостранични чија је страница 10cm.

            Израчунати средњеу линија тог трапеза.

capture24 jpg

 △ABC\vartriangle ABC - једнакостранични чија је страница 10cm.

Направимо висину CЕCЕ. АЕ=EB=5cmАЕ=EB=5cm.

ADCЕADCЕ - правоугаоник. АЕ=DC=5cmАЕ=DC=5cm.

m=a+b2m=10+52m=7,5cm\begin{aligned}&m = \frac{{a + b}}{2} \\ &m = \frac{{10 + 5}}{2} \\ &m = 7,5cm\end{aligned}

Пр.4)   Израчунати обим јендакокракок трапеза, ако је:

           а) један унутрашњи угао 60∘{60^ \circ }, а основеице 10cm и 4cm

capture25 jpg

Нека је DE∥CBDE\parallel CB. △ADE\vartriangle ADE - једнакостранични чија је страница a−b=c{a - b}=c.

c=a−bc=10−4c=6cmO=a+b+2cO=10+4+2⋅6O=26cm\begin{aligned}&c = a - b \\ &c = 10 - 4 \\ &c = 6cm \\ &O = a + b + 2c \\ &O = 10 + 4 + 2 \cdot 6 \\ &O = 26cm\end{aligned}

           б) један унутрашњи угао 30∘{30^ \circ }, средња линија 10cm и висина

               трапеза 4cm.

capture27 jpg

Погледамо једнакостранични троугао △ADE\vartriangle ADE AD=DE=2h=8cmAD=DE=2h=8cm

m=a+b210=a+b2a+b=2⋅10a+b=20cmO=a+b+2cO=20+2⋅8O=20+16cmO=36cm\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&m = \frac{{a + b}}{2} \\ &10 = \frac{{a + b}}{2} \\ &a + b = 2 \cdot 10 \\ &a + b = 20cm\end{aligned} &\begin{aligned}&O = a + b + 2c \\ &O = 20 + 2 \cdot 8 \\ &O = 20 + 16cm \\ &O = 36cm\end{aligned} \end{array}

Пр.5)   Израчунати висину правоуглог трапза ако су основице 17cm и

            11cm, а један унутрашњи угао 135∘{135^ \circ }.

capture28 jpg

α+135∘=180∘α=180∘−135∘α=45∘\begin{aligned}&\alpha + {135^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {135^ \circ } \\ &\alpha = {45^ \circ }\end{aligned}

△ABE\vartriangle ABE јендакокраки.

AE=BEh=a−bh=17−11h=6cm\begin{aligned}&AE = BE \\ &h = a - b \\ &h = 17 - 11 \\ &h = 6cm\end{aligned}

Задаци са трапезом често се решавају тако што трапез поделите на познате делове. Ако кроз теме DD повучете праву паралелну са краком BCBC, добијате паралелограм и троугао чије су странице оба крака и дуж a−ba - b. Ако је у једнакокраком трапезу угао на дужој основици 60∘60^\circ, тај троугао је једнакостраничан, па је крак c=a−bc = a - b.

Висина из темена краће основице одсеца од дуже основице дуж a−b2\frac{a - b}{2} код једнакокраког, а a−ba - b код правоуглог трапеза. Ако је угао на основици 45∘45^\circ, тај правоугли троугао је једнакокрак, па је висина једнака тој дужи. Кад продужите кракове до пресека, користите збир углова троугла 180∘180^\circ. Обим је O=a+b+c+dO = a + b + c + d.

α = 60°ABDCE
5 m
60°
Крак c
7 m
a − b
7 m
Обим O
31 m
Дуж DEDE је паралелна са краком BCBC и једнака му је. За α=60∘\alpha = 60^\circ троугао AEDAED је једнакостраничан, па је крак тачно a−ba - b. Смањите угао: крак постаје краћи од a−ba - b.

Леје, рамови и попречни пресеци насипа често имају облик једнакокраког трапеза. Из основица и угла мајстор израчуна дужину косих страна, а тиме и колико ограде, ивичњака или летви треба да купи.

Ограда око леје

Леју у парку у Нишу, у облику једнакокраког трапеза ABCDABCD, треба оградити ниском оградом. Основице леје су AB=12AB = 12 m и CD=5CD = 5 m, а угао на дужој основици је 60∘60^\circ. Колико метара ограде треба?

Решење

  1. Кроз теме DD повучемо DE∥BCDE \parallel BC, са тачком EE на ABAB. Четвороугао EBCDEBCD је паралелограм, па је EB=5EB = 5 m и DE=BCDE = BC.
  2. Остатак основице је AE=12−5=7AE = 12 - 5 = 7 m.
  3. У троуглу AEDAED је AD=DEAD = DE, јер су краци једнаки, а угао код AA је 60∘60^\circ. Зато је троугао једнакостраничан и крак је 7 m.
  4. Обим: O=12+5+2⋅7=31O = 12 + 5 + 2 \cdot 7 = 31 m.

Одговор: За леју треба 31 m ограде.

Задатак за вежбу

Основице правоуглог трапеза су 14 cm и 9 cm, а његов тупи угао је 135∘135^\circ. Колика је висина трапеза?

Прикажи решење

Оштри угао на истом краку је 180∘−135∘=45∘180^\circ - 135^\circ = 45^\circ. Висина из темена краће основице одсеца дуж 14−9=514 - 9 = 5 cm и са њом гради једнакокраки правоугли троугао, па је h=5h = 5 cm.