Бројевни изрази у скупу целих бројева – други део

Решени задаци, напредни ниво.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

1. Израчунати вредност израза:

а) ((– 3) · (– 4) – 5 · (– 6)) · (– 6 + (– 2) · (– 3)) =

б) ((– 12) · (– 36) + 4 · (– 32)) · (– 8 – 2 · (– 4)) =

в) (999 – 6 · (+ 125)) · (– 3 · 16 + (– 7) · (– 7)) =

г) 10 – (– 6) : (– 5 + 2) + (– 15 – 5 : 5) =

2. Одредити вредности следећих израза:

а) 12 · (– 8) – (– 15) · 8 + 8 · 20 =

б) – 20 : (– 4) + 8 : (– 4) – 24 : (– 4) + 12 : (– 4) =

3. Разлику петоструке вредности броја – 13 и троструке вредности броја 15 одузети од броја – 100.

4. Производ бројева – 100 и 0 умањити за производ бројева – 100 и – 1, тој разлици додати збир бројева 61 и – 71, па добијену вредност израза одузети од броја – 100.

5. Ако је

А = – 4 · |+2| + 5 · |– 3|

В = – 5· |– 2| + 2

C = |– 7 + 9|· |– 3 + 5 – 2|

D = – 2 · |9 – 13| + 5 · |– 17 + 8|

упоредити производ бројевних вредности израза A, B и D и бројевне вредности израза C.

1.) a)

$\left( {\left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 4} \right) - 5 \cdot \left( { - 6} \right)} \right) \cdot \left( { - 6 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {12 + 30} \right) \cdot \left( { - 6 + 6} \right) = 42 \cdot 0 = 0$

б)

$\begin{aligned}&\left( {\left( { - 12} \right) \cdot \left( { - 36} \right) + 4 \cdot \left( { - 32} \right)} \right) \cdot \left( { - 8 - 2 \cdot \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {432 - 128} \right) \cdot \left( { - 8 + 8} \right) = \\ &= 304 \cdot 0 = 0\end{aligned}$

в)

$\begin{aligned}&\left( {999 - 6 \cdot \left( { + 125} \right)} \right) \cdot \left( { - 3 \cdot 16 + \left( { - 7} \right) \cdot \left( { - 7} \right)} \right) = \left( {999 - 750} \right) \cdot \left( { - 48 + 49} \right) = \\ &= 249 \cdot 1 = 249\end{aligned}$

2.) а)

$\begin{aligned}&12 \cdot \left( { - 8} \right) - \left( { - 15} \right) \cdot 8 + 8 \cdot 20 = 8 \cdot \left( { - 12 - \left( { - 15} \right) + 20} \right) = 8 \cdot \left( { - 12 + 15 + 20} \right) = \\ &= 8 \cdot 23 = 184\end{aligned}$

б)

$\begin{aligned}&- 20:\left( { - 4} \right) + 8:\left( { - 4} \right) - 24:\left( { - 4} \right) + 12:\left( { - 4} \right) = \left( { - 20 + 8 - 24 + 12} \right):\left( { - 4} \right) = \\ &= \left( { - 12 - 12} \right): - 4 = - 24:\left( { - 4} \right) = 6\end{aligned}$

3.)

$- 100 - \left( {5 \cdot \left( { - 13} \right) - 3 \cdot 15} \right) = - 100 - \left( { - 65 - 45} \right) = - 100 - \left( { - 110} \right) = 10$

4.)

$\begin{aligned}&- 100 - \left( { - 100 \cdot 0 - \left( { - 100} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 61 + \left( { - 71} \right)} \right) = - 100 - \left( {0 - 100 + 61 - 71} \right) = \\ &= - 100 - \left( { - 100 - 10} \right) = - 100 - \left( { - 110} \right) = - 100 + 110 = 10\end{aligned}$

5.)

$\begin{aligned}&A = - 4 \cdot \left| { + 2} \right| + 5 \cdot \left| { - 3} \right| = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = - 8 + 15 = 7 \\ &B = - 5 \cdot \left| { - 2} \right| + 2 = - 5 \cdot 2 + 2 = - 10 + 2 = - 8 \\ &C = \left| { - 7 + 9} \right| \cdot \left| { - 3 + 5 - 2} \right| = 2 \cdot 0 = 0 \\ &D = - 2 \cdot \left| {9 - 13} \right| + 5 \cdot \left| { - 17 + 8} \right| = - 2 \cdot \left| { - 4} \right| + 5 \cdot \left| { - 9} \right| = \\ &- 2 \cdot 4 + 5 \cdot 9 = - 8 + 45 = 37\end{aligned}$

$\begin{aligned}&7 \cdot \left( { - 81} \right) \cdot 37 < 0 \\ &ABD < 0\end{aligned}$

Сложенији изрази имају заграде у заградама и производе заграда. Радите изнутра ка споља: прво израчунајте сваку заграду до краја, па тек онда множите: $((-3) \cdot (-4) - 5 \cdot (-6)) \cdot (-6 + (-2) \cdot (-3)) = 42 \cdot 0 = 0$ . Ако је један чинилац нула, цео производ је нула, па вреди прво израчунати краћу заграду.

Кад се исти чинилац понавља у више производа, извуците га испред заграде: $12 \cdot (-8) - (-15) \cdot 8 + 8 \cdot 20 = 8 \cdot (-12 + 15 + 20) = 184$ . Текстуалне задатке преводите у израз део по део, редом како су написани: „од броја $-100$ одузети разлику…“ је $-100 - (\ldots)$ . Честа грешка је изостављена заграда око негативног броја: пише се $5 \cdot (-13)$ , а не $5 \cdot -13$ .

Ужице, најнижа−6°C

Ужице, највиша8°C

Нови Сад, најнижа−2°C

Нови Сад, највиша5°C

Разлика распона: 7°C

Распон је растојање од најниже до највише температуре, зато је

8 - (-6) = 14

, више од саме највише температуре. Разлика распона је разлика две заграде: распон у Ужицу минус распон у Новом Саду.

Изрази са више заграда појављују се у сваком рачуну у више корака: распон температура у временској прогнози, биланс прихода и расхода или формуле у табелама.

Дневни распон температура

Једног зимског дана у Ужицу је најнижа температура била $-6^\circ\mathrm{C}$ , а највиша $8^\circ\mathrm{C}$ . У Новом Саду најнижа је била $-2^\circ\mathrm{C}$ , а највиша $5^\circ\mathrm{C}$ . Дневни распон је разлика највише и најниже температуре. За колико степени и колико пута је распон у Ужицу већи него у Новом Саду?

Решење

Распон у Ужицу минус распон у Новом Саду: $(8 - (-6)) - (5 - (-2))$ .
Прва заграда: $8 - (-6) = 8 + 6 = 14$ . Друга заграда: $5 - (-2) = 5 + 2 = 7$ .
Разлика је $14 - 7 = 7$ .
Колико пута: $(8 - (-6)) : (5 - (-2)) = 14 : 7 = 2$ .

Одговор: Распон у Ужицу је $14^\circ\mathrm{C}$ , а у Новом Саду $7^\circ\mathrm{C}$ , па је у Ужицу већи за 7 степени, односно два пута.

Задатак за вежбу

Разлику троструке вредности броја $-12$ и двоструке вредности броја $9$ одузмите од броја $-50$ .

Прикажи решење

$-50 - (3 \cdot (-12) - 2 \cdot 9) = -50 - (-36 - 18) = -50 - (-54) = -50 + 54 = 4$ .