Четвороугао – појам, особине

Дефиниције, особине, решени задаци.

Четвороугао $ABCD$ има четири темена, четири странице и четири унутрашња угла. Суседне странице имају заједничко теме, а наспрамне немају. Дијагонале $AC$ и $BD$ спајају темена која нису суседна, па четвороугао има две дијагонале. Четвороугао је конвексан ако су му сви унутрашњи углови мањи од $180^\circ$ ; тада су обе дијагонале у њему.

Дијагонала дели четвороугао на два троугла, а збир углова сваког троугла је $180^\circ$ . Зато је збир унутрашњих углова четвороугла $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$ . Спољашњи угао је суплементан унутрашњем: $\alpha_1 = 180^\circ - \alpha$ . Темена именујте редом, обилазећи четвороугао по ивици.

α + β + γ + δ: 360°
Највећи угао: 104°

Збир углова остаје

360^\circ

какав год четвороугао направите. Дијагонала

AC

га дели на два троугла, сваки са збиром

180^\circ

. Увуците теме

D

унутра: четвороугао више није конвексан, један угао прелази

180^\circ

, а једна дијагонала излази из њега. На почетку су углови њиве из примера.

Парцеле, собе, плочице и оквири прозора најчешће су четвороуглови. Геометри и мајстори збиром од $360^\circ$ проверавају мерења: ако четири измерена угла не дају $360^\circ$ , негде је грешка.

Четврти угао њиве

Геометар премерава њиву код Сомбора, у облику конвексног четвороугла $ABCD$ . Измерио је углове $\alpha = 78^\circ$ , $\beta = 104^\circ$ и $\gamma = 96^\circ$ , а угао код темена $D$ није могао да измери због живе ограде. Колики је угао $\delta$ ?

Решење

Дијагонала $AC$ дели њиву на два троугла, па је збир углова четвороугла $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ .
Збир измерених углова је $78^\circ + 104^\circ + 96^\circ = 278^\circ$ .
Зато је $\delta = 360^\circ - 278^\circ = 82^\circ$ .
Сви углови су мањи од $180^\circ$ , што одговара конвексном четвороуглу.

Одговор: Угао њиве код темена $D$ износи $82^\circ$ .

Задатак за вежбу

Да ли постоји конвексан четвороугао са угловима $95^\circ$ , $85^\circ$ , $100^\circ$ и $90^\circ$ ? А са угловима $120^\circ$ , $60^\circ$ , $110^\circ$ и $70^\circ$ ?

Прикажи решење

Први не постоји, јер је збир $370^\circ$ , а не $360^\circ$ . Други постоји: $120^\circ + 60^\circ + 110^\circ + 70^\circ = 360^\circ$ , а сви углови су мањи од $180^\circ$ .