Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Једнакокраки и правоугли трапез 1

Особине, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Израчунати све унутрашње и спољашње углове једнакокраког

           трапеза ако је:

           а) један унутрашњи угао 55∘{55^ \circ }

           б) збир два унутрашња угла 234∘{234^ \circ }

Пр.2)   Израчунати све унутрашње углове једнакокраког трапеза,

           ако је један унутрашњи већи од другог:

           а) три пута

           б) за 34∘{34^ \circ }

Пр.3)   Израчунати унутрашње углове правоуглог трапеза, ако је

           збир три унутрашња угла 281∘{281^ \circ }.

Пр.1)   Израчунати све унутрашње и спољашње углове једнакокраког

           трапеза ако је:

           а) један унутрашњи угао α=55∘\alpha = {55^ \circ }

capture16 jpg

β=α=55∘α+δ=180∘55∘+δ=180∘δ=180∘−55∘δ=125∘δ1=α=55∘γ=δ∘γ=125∘α1=δ=125∘β1=125∘γ1=β=55∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\beta = \alpha = {55^ \circ } \\ &\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &{55^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \\ &\delta = {180^ \circ } - {55^ \circ } \\ &\delta = {125^ \circ } \\ &{\delta _1} = \alpha = {55^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\gamma = {\delta ^ \circ } \\ &\gamma = {125^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \delta = {125^ \circ } \\ &{\beta _1} = {125^ \circ } \\ &{\gamma _1} = \beta = {55^ \circ }\end{aligned} \end{array}

           б) збир два унутрашња угла 234∘{234^ \circ }

γ=δγ+δ=234∘γ+γ=234∘2γ=234∘γ=234∘:2γ=117∘δ=117∘α+δ=180∘α+117∘=180∘α=180∘−117∘α=63∘δ=125∘δ1=α=55∘α=ββ=63∘α1=δα1=117∘β1=γβ1=117∘γ1=βγ1=63∘δ1=αδ1=63∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\gamma = \delta \\ &\gamma + \delta = {234^ \circ } \\ &\gamma + \gamma = {234^ \circ } \\ &2\gamma = {234^ \circ } \\ &\gamma = {234^ \circ }:2 \\ &\gamma = {117^ \circ } \\ &\delta = {117^ \circ } \\ &\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &\alpha + {117^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {117^ \circ } \\ &\alpha = {63^ \circ } \\ &\delta = {125^ \circ } \\ &{\delta _1} = \alpha = {55^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha = \beta \\ &\beta = {63^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \delta \\ &{\alpha _1} = {117^ \circ } \\ &{\beta _1} = \gamma \\ &{\beta _1} = {117^ \circ } \\ &{\gamma _1} = \beta \\ &{\gamma _1} = {63^ \circ } \\ &{\delta _1} = \alpha \\ &{\delta _1} = {63^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.2)   Израчунати све унутрашње углове једнакокраког трапеза,

           ако је један унутрашњи већи од другог:

           а) три пута

capture18 jpg

δ=3αα+δ=180∘α+3α=180∘4α=180∘α=180∘:4α=48∘δ=3⋅45∘δ=135∘β=45∘γ=δγ=135∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\delta = 3\alpha \\ &\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &\alpha + 3\alpha = {180^ \circ } \\ &4\alpha = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ }:4 \\ &\alpha = {48^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\delta = 3 \cdot {45^ \circ } \\ &\delta = {135^ \circ } \\ &\beta = {45^ \circ } \\ &\gamma = \delta \\ &\gamma = {135^ \circ }\end{aligned} \end{array}

           б) за 34∘{34^ \circ }

δ=α+34∘α+δ=180∘α+α+34∘=180∘2α=180∘−34∘α=146∘:2α=73∘β=αβ=73∘δ=73∘+34∘δ=107∘γ=δγ=107∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\delta = \alpha + {34^ \circ } \\ &\alpha + \delta = {180^ \circ } \\ &\alpha + \alpha + {34^ \circ } = {180^ \circ } \\ &2\alpha = {180^ \circ } - {34^ \circ } \\ &\alpha = {146^ \circ }:2 \\ &\alpha = {73^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\beta = \alpha \\ &\beta = {73^ \circ } \\ &\delta = {73^ \circ } + {34^ \circ } \\ &\delta = {107^ \circ } \\ &\gamma = \delta \\ &\gamma = {107^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Пр.3)   Израчунати унутрашње углове правоуглог трапеза, ако је

           збир три унутрашња угла 281∘{281^ \circ }.

capture19 jpg

α+β+γ+δ=360∘α=360∘−281∘α=79∘α+β=180∘79∘+β=180∘β=180∘−79∘β=101∘γ=90∘δ=90∘\begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \\ &\alpha = {360^ \circ } - {281^ \circ } \\ &\alpha = {79^ \circ } \\ &\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &{79^ \circ } + \beta = {180^ \circ } \\ &\beta = {180^ \circ } - {79^ \circ } \\ &\beta = {101^ \circ } \\ &\gamma = {90^ \circ } \\ &\delta = {90^ \circ }\end{aligned}

Једнакокраки трапез има једнаке кракове. Углови на истој основици су му једнаки, α=β\alpha = \beta и γ=δ\gamma = \delta, дијагонале су једнаке, а оса симетрије пролази кроз средине основица. Правоугли трапез има један крак нормалан на основице, па су два његова угла права, а друга два дају 180∘180^\circ.

У сваком трапезу углови на истом краку дају 180∘180^\circ, на пример α+δ=180∘\alpha + \delta = 180^\circ. Ако је у једнакокраком трапезу дат збир два угла који није 180∘180^\circ, то су углови на истој основици, па збир поделите са 2. Ако је један угао три пута већи од другог, решите α+3α=180∘\alpha + 3\alpha = 180^\circ.

α = 50°β = 50°γ = 130°δ = 130°ABDC
Крак AD
3,92
Крак BC
3,92
α + δ
180°
У једнакокраком трапезу теме CC прати теме DD симетрично у односу на осу, па су углови на истој основици једнаки. Укључите правоугли трапез: крак BCBC постаје нормалан на основице.

Дуже стране крова на четири воде, жардињере које се сужавају ка дну и попречни пресек многих канала имају облик једнакокраког трапеза. Мајстор који их сече зна да су углови на истој основици једнаки, па мери само један угао.

Кров на четири воде

Предња страна крова на четири воде је једнакокраки трапез ABCDABCD: стреха ABAB је дужа основица, а слеме CDCD краћа. Коса ивица крова гради са стрехом угао од 50∘50^\circ. Колики су углови код слемена и колики је спољашњи угао код стрехе?

Решење

  1. Углови на истој основици једнакокраког трапеза су једнаки: α=β=50∘\alpha = \beta = 50^\circ.
  2. Углови на истом краку дају 180∘180^\circ: δ=180∘−50∘=130∘\delta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ, а исто толики је и γ\gamma.
  3. Спољашњи угао код стрехе је α1=180∘−50∘=130∘\alpha_1 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ.
  4. Провера: 50∘+50∘+130∘+130∘=360∘50^\circ + 50^\circ + 130^\circ + 130^\circ = 360^\circ.

Одговор: Углови код стрехе су по 50∘50^\circ, код слемена по 130∘130^\circ, а спољашњи угао код стрехе је 130∘130^\circ.

Задатак за вежбу

Збир три унутрашња угла правоуглог трапеза је 286∘286^\circ. Израчунајте све његове унутрашње углове.

Прикажи решење

Четврти угао је 360∘−286∘=74∘360^\circ - 286^\circ = 74^\circ. Угао на истом краку је 180∘−74∘=106∘180^\circ - 74^\circ = 106^\circ, а друга два угла су права. Углови су 74∘74^\circ, 106∘106^\circ, 90∘90^\circ и 90∘90^\circ.