Подударност троуглова – први део

Први и други став о подударности троуглова. Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

1. Доказати да је свака тачка симетрале дужи једнако удаљена од крајева те дужи.

2. У једнакокраком троуглу АВС основица АВ је тачкама D и Е подељена на три једнака дела. Доказати да су троуглови АDС и ВСЕ подударни, као и да су подударне дужи СD и СЕ.

3. Доказати да је свака тачка симетрале угла једнако удаљена од кракова тог угла.

1.

571 png

Нека тачка $S$ припада симетрали $m$ . Треба доказати да су $SA=SB$ . Посмотрамо $\vartriangle ASM$ и $\vartriangle BSM$ .

$AM = MB$
$\measuredangle AMS = \measuredangle BMS$

$SM$ је заједничка страница.

$\Rightarrow \vartriangle ASM \cong \vartriangle BSM$ (СУС) $\Rightarrow AS = SB$

2.

572 png

$\left. \begin{aligned}&BC = AC \\ &\measuredangle A = \measuredangle B \\ &AD = BE\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ADC \cong \vartriangle BCE \Rightarrow CD = CE$

3.

573 png

$\left. \begin{aligned}&\measuredangle BOS = \measuredangle SOA \\ &\measuredangle A = \measuredangle B \\ &SO = SO\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle BOS \cong \vartriangle SOA \Rightarrow SB = SA$

Два троугла су подударна ако се поклапају кад један поставите на други: једнаке су им одговарајуће странице и одговарајући углови. Пишемо $\vartriangle ABC \cong \vartriangle A_1B_1C_1$ , а редослед темена показује које теме одговара ком. Није потребно проверити свих шест елемената. Став СУС: троуглови су подударни ако имају једнаке две странице и угао између њих. Став УСУ: подударни су ако имају једнаку једну страницу и два угла на њој.

У доказу изаберите два троугла, наведите три пара једнаких елемената и разлог за сваки (заједничка страница, унакрсни углови, услов задатка), па напишите став. Честа грешка код става СУС је угао који није између те две странице.

Ширина реке AB: 47 m
DE: 47 m
AC = CD: 30 m

Дрво

B

померајте горе-доле, а тачку

D

дуж обале; штап

C

је увек на средини дужи

AD

. Троуглови

ABC

и

DEC

остају подударни по ставу УСУ, па је

DE

увек једнако ширини реке

AB

.

Тако се може измерити ширина реке или растојање до места коме не можете да приђете: на својој обали направите подударан троугао и измерите његову одговарајућу страницу.

Колико је широка река

Марко стоји на обали реке у тачки $A$ , тачно наспрам дрвета $B$ на другој обали. Хода дуж обале 30 m до тачке $C$ , где забоде штап, и још 30 m до тачке $D$ . Ту скрене под правим углом, даље од реке, и хода док му се штап $C$ и дрво $B$ не нађу на истој правој. Тада је у тачки $E$ , а измерио је $DE = 47$ m. Колико је широка река?

Решење

Посматрамо троуглове $ABC$ и $DEC$ . Странице $AC$ и $DC$ су једнаке, по 30 m.
Углови на тим страницама код $A$ и $D$ су прави: $\measuredangle BAC = \measuredangle EDC = 90^\circ$ .
Углови код $C$ су унакрсни, па су једнаки: $\measuredangle ACB = \measuredangle DCE$ .
Једнаке су страница и два угла на њој, па је $\vartriangle ABC \cong \vartriangle DEC$ по ставу УСУ. Зато је $AB = DE = 47$ m.

Одговор: Река је широка 47 m.

Задатак за вежбу

За троуглове $ABC$ и $KLM$ важи $AB = KL = 3$ cm, $BC = LM = 5$ cm и $\measuredangle ABC = \measuredangle KLM = 120^\circ$ . Измерено је $AC = 7$ cm. Да ли су троуглови подударни и колико је $KM$ ?

Прикажи решење

Јесу, по ставу СУС: две странице и угао између њих су једнаки. Странице $AC$ и $KM$ су одговарајуће, па је $KM = 7$ cm.