Функције - испитивање функција 1
Испитивање тока и цртање графика функције. Једноставни примери.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.1) Испитати функцију $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$.
Пр.1)
1. Домен функције Df: ${x^2} - 1 \ne 0$
\[\begin{gathered}
\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0 \hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 1 \ne 0}&{}& \wedge &{x + 1 \ne 0} \\
{x \ne 1}&{}&{}&{x \ne - 1}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]
$Df:\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}$
2. Нуле функције
$f\left( x \right) = 0$
$\frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0$
$x = 0$
$A\left( {0;0} \right)$
3. Пресек са y-осом
$x = 0;y = 0$
$A\left( {0;0} \right)$
4. Знак функције
$\frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0$
$x = 0;x \ne \pm 1$
$y > 0$ $x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
$y < 0$ $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;1} \right)$
5. Парност
$f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$
$f\left( { - x} \right) = \frac{{ - x}}{{{{\left( { - x} \right)}^2} - 1}} = - \frac{x}{{{x^2} - 1}} = - f\left( x \right)$ непарна функција
6. Асимптоте
В.А.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - {1^ - }} \right)}^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{1^ + } - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{0^ + }}} = - \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - {1^ + }} \right)}^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{1^ - } - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{0^ - }}} = + \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {{1^ - }} \right)}^2} - 1}} = \frac{1}{{{1^ - } - 1}} = \frac{1}{{{0^ - }}} = - \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {{1^ + }} \right)}^2} - 1}} = \frac{1}{{{1^ + } - 1}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty $
Х.А.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x:{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 1} \right):{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{x}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{{1 - 0}} = \frac{0}{1} = 0$
хоризонтална асимптота је $y = 0$
7. Монотоност и екстремне вредности
$f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$
$f'\left( x \right) = \frac{{x'\left( {{x^2} - 1} \right) - x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 1 - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}$
$\frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = 0$
$x \ne \pm 1$
8. Конвексност и превојне тачке
$f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$
$f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}$
$f''\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 1} \right)}^\prime }{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - {{\left( {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }\left( { - {x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot 2x\left( { - {x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = $
$ = \frac{{ - 2x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 1 + 2\left( { - {x^2} - 1} \right)} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2x\left( {{x^2} - 1 + 2\left( { - {x^2} - 1} \right)} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}} = \frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}}$
$\frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}} = 0$
$x = 0;x \ne \pm 1$
превојна тачка је $P\left( {0;0} \right)$
9. График функције