Функције - испитивање функција 2
Испитивање тока и цртање графика функције. Сложенији примери.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.2) Испитати функцију $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}$.
1. Домен функције
Df: $x - 2 \ne 0$
$x \ne 2$
2. Нуле функције
$f\left( x \right) = 0$
$\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} = 0$
${x^2} = 0$
$x = 0$
Тачка $A\left( {0;0} \right)$ је нула функције.
3. Пресек са y-осом
$x = 0;f\left( 0 \right) = \frac{{{0^2}}}{{0 - 2}} = 0$
$A\left( {0;0} \right)$
4. Знак функције
$y > 0$ $x \in \left( {2; + \infty } \right)$
$y < 0$ $x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;2} \right)$
5. Парност
$f\left( { - x} \right) = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^2}}}{{ - x - 2}} = \frac{{{x^2}}}{{ - x - 2}} \ne f\left( x \right)$
$ - f\left( x \right) = - \frac{{{x^2}}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2}}}{{ - x + 2}}$
Функција није парна, није непарна.
6. Асимптоте
В.А.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2}}}{{x - 2}} = \frac{4}{{{2^ - } - 2}} = \frac{4}{{{0^ - }}} = - \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2}}}{{x - 2}} = \frac{4}{{{2^ + } - 2}} = \frac{4}{{{0^ + }}} = + \infty $
Х.А.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}:{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right):{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{x}{{{x^2}}}}}{{\frac{x}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{{0 - 0}} = \frac{1}{0} = \infty $ нема Х.А.
К.А.
$y = kx + n$
$k = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}:{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right):{x^2}}} = \frac{1}{{1 - 0}} = 1$
$k = 1$
$n = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {f\left( x \right) - kx} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - {x^2} + 2x}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{2x:x}}{{x - 2:x}}} \right) = $
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{\frac{{2x}}{x}}}{{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}}}} \right) = \frac{2}{{1 - 0}} = 2$
$n = 2$
Права $y = x + 2$ је коса асимптота.
7. Монотоност и екстремне вредности
$f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}$
$f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^\prime }{x^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - {x^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$
$\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0$
${x^2} - 4x = 0;x - 2 \ne 0$
$x = 0 \vee x = 4;x \ne 2$
${T_{\max }}\left( {0;0} \right)$
${T_{\min }}\left( {4;8} \right)$
8. Конвексност и превојне тачке
$f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}$
$f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$
$f''\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 4x} \right)}^\prime }{{\left( {x - 2} \right)}^2} - {{\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right)}^\prime }\left( {{x^2} - 4x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{{\left( {2x - 4} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2} - 2\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = $
$ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - 2\left( {{x^2} - 4x} \right)} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{{2{x^2} - 4x - 4x + 8 - 2{x^2} + 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} = \frac{8}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}$
$\frac{8}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} = 0$
$x \ne 2$
нема превојне тачке