Неодређени интеграли 3

Интеграли. Особине интеграла. Примери табличних интеграла Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Решити

Пр.13) $\int {{2^x}} {e^x}dx$

Пр.14) $\int {\frac{{3 \cdot {2^x} - 2 \cdot {3^x}}}{{2x}}} dx$

Пр.15) $\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx$

Пр.16) $\int {t{g^2}} xdx$

Пр.17) $\int {\frac{{1 \cdot dx}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}}$

Пр.18) $\int {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx$

Пр.13) $\int {{2^x}} {e^x}dx = \int {{{\left( {2e} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {2e} \right)}^x}}}{{\ln 2e}} + C = \frac{{{{\left( {2e} \right)}^x}}}{{\ln 2 + \ln e}} + C = \frac{{{{\left( {2e} \right)}^x}}}{{\ln 2}} + C$

Пр.14) $\int {\frac{{3 \cdot {2^x} - 2 \cdot {3^x}}}{{{2^x}}}} dx = \int {\left( {\frac{{3 \cdot {2^x}}}{{{2^x}}} - \frac{{2 \cdot {3^x}}}{{{2^x}}}} \right)} dx = \int 3 dx - \int {\frac{{2 \cdot {3^x}}}{{{2^x}}}} dx = 3x - 2{\int {\left( {\frac{3}{2}} \right)} ^x}dx =$

$= 3x - 2\frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{3}{2}}} + C = 3x - 2\frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x}}}{{\ln 3 - \ln 2}} + C$

Пр.15) $\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx - \int {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx =$

$= \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx - \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = - ctgx - tgx + C$

Пр.16) $\int {t{g^2}} xdx = \int {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx - \int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx =$

$= tgx - \int {dx = } tgx - x + C$

Пр.17) $\int {\frac{{1 \cdot dx}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} = \int {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx + \int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx =$

$= \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = tgx - ctgx + C$

Пр.18) $\int {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}} dx = \int {\frac{1}{2}} dx + \int {\frac{{\cos x}}{2}} dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\operatorname{sinx} + c$

Експоненцијалне функције интегралите по формулама $\int e^x\,dx = e^x + C$ и $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ . Пазите: при интеграцији се дели са $\ln a$ , а при извођењу се множи. Производ степена са истим изложиоцем прво спојите у један степен: $2^x e^x = (2e)^x$ , па је интеграл $\frac{(2e)^x}{\ln 2 + 1} + C$ , јер је $\ln(2e) = \ln 2 + 1$ . Количник раздвојите на сабирке, па сваки запишите као један степен, на пример $\frac{3^x}{2^x} = \left(\frac{3}{2}\right)^x$ .

Тригонометријске изразе помоћу идентитета сведите на табличне интеграле $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C$ и $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg} x + C$ . Јединицу у бројиоцу замените са $\sin^2 x + \cos^2 x$ , а $\cos 2x$ са $\cos^2 x - \sin^2 x$ , па разломак раздвојите и скратите. Слично помажу $\operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ и $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ . Резултат проверите извођењем.

Време10 ms

Енергија од укључивања: 10 J
Просечна снага: 1000 W

Површина испод графика је потрошена енергија. После сваких 10 ms, колико траје један талас снаге, просечна снага је тачно 1000 W, половина највеће вредности, што следи из

\int \sin^2 u\,du = \frac{u}{2} - \frac{\sin 2u}{4} + C

.

У електротехници се интеграл од $\sin^2$ користи за ефективну вредност наизменичне струје: просек од $\sin^2$ током периода је тачно половина, па грејалица у просеку ради половином своје највеће тренутне снаге.

Енергија грејалице

Грејалица укључена у мрежу наизменичне струје од 50 Hz има тренутну снагу $p(t) = 2000\sin^2(100\pi t)$ W, где је $t$ време у секундама. Одредите енергију $E(t)$ коју потроши од укључивања и израчунајте колико kWh потроши за један сат.

Решење

Применимо идентитет $\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}$ : $p(t) = 1000 - 1000\cos(200\pi t)$ .
Интегралимо члан по члан, уз $\int \cos(kt)\,dt = \frac{\sin(kt)}{k} + C$ : $E(t) = 1000t - \frac{1000}{200\pi}\sin(200\pi t) + C = 1000t - \frac{5}{\pi}\sin(200\pi t) + C$ .
Почетни услов $E(0) = 0$ даје $C = 0$ .
За $t = 3600$ s је $\sin(720\,000\pi) = 0$ , па је $E = 3\,600\,000$ J, а то је 1 kWh.

Одговор: Грејалица за сат времена потроши 1 kWh, као да све време ради снагом од 1000 W, половином највеће тренутне снаге.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{4^x - 1}{2^x}\,dx$ .

Прикажи решење

$\frac{4^x - 1}{2^x} = 2^x - \left(\frac{1}{2}\right)^x$ , па је интеграл $\frac{2^x}{\ln 2} - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln\frac{1}{2}} + C = \frac{2^x + 2^{-x}}{\ln 2} + C$ .