Неодређени интеграли – парцијална интеграција 4

Интеграли. Особине интеграла. Парцијална интеграција. Дефиниција. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.9) Решити $\int {{e^x}\sin xdx}$

Пр.10) $\int {\cos \left( {\ln x} \right)} dx$

Пр.9) $\int {{e^x}\sin xdx}=$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&u = \sin x \\ &du = \cos x\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = {e^x}dx \\ &v = \int {{e^x}} dx = {e^x} + C\end{aligned} \end{array}$

$= {e^x}\sin x - \int {{e^x}\cos xdx = }$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\cos x = u \\ &- \sin xdx = du\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = {e^x}dx \\ &v = {e^x} + C\end{aligned} \end{array}$

$= {e^x}\sin x - \left( {{e^x}\cos x + \int {{e^x}\sin xdx} } \right) = {e^x}\sin x - {e^x}\cos x - \int {{e^x}\sin xdx}$

$\int {{e^x}\sin xdx} = {e^x}\sin x - {e^x}\cos x - \int {{e^x}\sin xdx}$

$2\int {{e^x}\sin xdx} = {e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right)$

$\int {{e^x}\sin xdx} = \frac{{{e^x}}}{2}\left( {\sin x - \cos x} \right)$

Пр.10) $\int {\cos \left( {\ln x} \right)} dx=$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&u = \cos \left( {\ln x} \right) \\ &du = - \sin \left( {\ln x} \right) \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime }dx \\ &du = - \frac{{\sin \left( {\ln x} \right)}}{x}dx\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = dx \\ &v = x + C\end{aligned} \end{array}$

$= x \cdot \cos \left( {\ln x} \right) + \int {x\frac{{\sin \left( {\ln x} \right)}}{x}dx = }$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&u = \sin \left( {\ln x} \right) \\ &du = \frac{{\cos \left( {\ln x} \right)}}{x}dx\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = dx \\ &v = x + C\end{aligned} \end{array}$

$= x \cdot \cos \left( {\ln x} \right) + x\sin \left( {\ln x} \right) - \int {x\frac{{\cos \left( {\ln x} \right)}}{x}dx}$

$\int {\cos \left( {\ln x} \right)} dx = x \cdot \cos \left( {\ln x} \right) + x\sin \left( {\ln x} \right) - \int {\cos \left( {\ln x} \right)dx}$

$2\int {\cos \left( {\ln x} \right)} dx = x \cdot \cos \left( {\ln x} \right) + x\sin \left( {\ln x} \right)$

$\int {\cos \left( {\ln x} \right)} dx = \frac{x}{2} \cdot \left( {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right)$

Код интеграла $\int e^{ax}\sin bx\,dx$ , $\int e^{ax}\cos bx\,dx$ или $\int \cos(\ln x)\,dx$ парцијална интеграција после два корака враћа почетни интеграл. Тада се интеграл $I$ третира као непозната у једначини: из $I = A - kI$ следи $I = \frac{A}{1 + k}$ . На пример, $\int e^x\cos x\,dx = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$ . Важно је да у оба корака за $u$ бирате исту врсту функције, оба пута тригонометријску или оба пута експоненцијалну; иначе други корак поништи први и добијате тачну, али бескорисну једнакост $I = I$ . Код $\int \sin(\ln x)\,dx$ оба пута се узима $dv = dx$ , а за $u$ тригонометријска функција.

Константу $C$ додајте тек кад изразите $I$ . Резултат лако проверите извођењем: извод мора дати подинтегралну функцију.

Пригушење β2

Највиши положај: 8,11 cm
Тренутак највишег положаја: 0,52 s
Положај после 1 s: 5,3 cm

Крива је положај каросерије

y(t) = 6\left(1 - e^{-\beta t}\left(\cos 6t + \frac{\beta}{6}\sin 6t\right)\right)

у cm; за

\beta = 2

то је резултат из примера. Слабији амортизер, мање

\beta

, даје веће надвишење и дуже љуљање.

Пригушене осцилације облика $e^{-at}\sin bt$ описују рад амортизера аутомобила, љуљање зграда и мостова на ветру и струју у електричним колима, па се овакви интеграли стално јављају у техници.

Ауто прелази на нови асфалт

У поједностављеном моделу ослањања, кад точкови аутомобила пређу на нов слој асфалта, 6 cm виши од старог, каросерија се креће навише брзином $v(t) = 0{,}4e^{-2t}\sin 6t$ m/s, где је $t$ у секундама. Одредите положај каросерије $y(t)$ , ако је $y(0) = 0$ , и колико се највише подигне.

Решење

$y(t) = 0{,}4\int e^{-2t}\sin 6t\,dt$ ; означимо $I = \int e^{-2t}\sin 6t\,dt$ .
Први корак: $u = \sin 6t$ , $dv = e^{-2t}\,dt$ , $v = -\frac{1}{2}e^{-2t}$ , па је $I = -\frac{1}{2}e^{-2t}\sin 6t + 3\int e^{-2t}\cos 6t\,dt$ .
Други корак, опет са тригонометријском функцијом као $u$ : $\int e^{-2t}\cos 6t\,dt = -\frac{1}{2}e^{-2t}\cos 6t - 3I$ .
Дакле $I = -\frac{1}{2}e^{-2t}\sin 6t - \frac{3}{2}e^{-2t}\cos 6t - 9I$ , па је $10I = -\frac{1}{2}e^{-2t}(\sin 6t + 3\cos 6t)$ и $I = -\frac{1}{20}e^{-2t}(\sin 6t + 3\cos 6t)$ .
$y(t) = -0{,}02e^{-2t}(\sin 6t + 3\cos 6t) + C$ , а из $y(0) = -0{,}06 + C = 0$ следи $C = 0{,}06$ . Кад $t$ расте, $y(t)$ тежи ка $0{,}06$ m.
Брзина је први пут нула кад је $6t = \pi$ , у $t = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52$ s, и тада је $y = 0{,}06 + 0{,}06e^{-\frac{\pi}{3}} \approx 0{,}081$ m.

Одговор: Каросерија се на крају смири 6 cm више, али после 0,52 s прво надвиси до око 8,1 cm.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int e^{2x}\sin x\,dx$ .

Прикажи решење

Нека је $I = \int e^{2x}\sin x\,dx$ . Два пута парцијално, оба пута са тригонометријском функцијом као $u$ : $I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin x - \frac{1}{4}e^{2x}\cos x - \frac{1}{4}I$ , па је $I = \frac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) + C$ .