Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање површине. Тангента криве. Сложенији примери.
Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.4) Израчунај површину између криве $y = 2{x^2}$, праве $x = 0$
и тангенте дате криве у тачки $A\left( {2,{y_0}} \right)$.
$y = 2{x^2}$
$x{\text{ }} = {\text{ }}0$
$A\left( {2,{y_0}} \right)$
$A \in P:{y_0} = 2 \cdot {2^2}$
${y_0} = 8$
$A\left( {2;8} \right)$
$t:y - {y_0} = k\left( {x - {x_0}} \right)$
$k = f'\left( {{x_0}} \right)$
$y' = 2 \cdot 2x$
$y' = 4x$
$y'\left( 2 \right) = 4 \cdot 2$
$y'\left( 2 \right) = 8$
$t:y - 8 = 8\left( {x - 2} \right)$
$t:y = 8x - 16 + 8$
$t:y = 8x - 8$
$P:y = 2{x^2}$
$y = 0;x = 0$

$x = 0$

$t:y = 8x - 8$
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 0}&{}&\begin{gathered}
8x - 8 = 0 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]


$P = \int\limits_0^2 {2{x^2}dx - \int\limits_1^2 {\left( {8x - 8} \right)dx - \int\limits_0^1 {\left( {8x - 8} \right)dx = } } } \int\limits_0^2 {2{x^2}dx} - \left( {\int\limits_0^2 {\left( {8x - 8} \right)dx} } \right) = $
$ = \int\limits_0^2 {\left( {2{x^2} - 8x + 8} \right)dx} = \left. {\left( {2\frac{{{x^3}}}{3} - 8\frac{{{x^2}}}{2} + 8x} \right)} \right|_0^2 = \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 \cdot {2^2} + 8 \cdot 2 - 0 = $
$ = \frac{{16}}{3} - 16 + 16 = \frac{{16}}{3}$